luogu2261 [CQOI2007] 余数之和
题目大意
求
\]
\(n,k\leq 10^9\)。
题解
先只考虑\(n\leq k\)的情况。
\]
看到
\]
则想到整除分块。
整除分块
结论:
\]
规律
当\(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor\)一定时,所有满足上式的\(i\)都在一段连续的区间内(组成了一块),区间右端点是\(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor\)。
因此操作时,直接对一块进行统一操作即可。
数学推导
令一块的左端点为\(l\),右端点为\(r\),\(v=\frac{k}{r}\),我们现在要求一块内的和
\]
此时注意:和式中运算的次数为\(r-l-0+1=r-l+1\),而不是\(r-l\)。所以接下来
\]
\]
在这里错了就完了!
最终运用等差数列的知识得到
\]
把所有的上式加起来再被\(nk\)一减即可。
注意
边界条件:赋值\(r\)时,它不能直接等于\(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor\),而应当是它和\(n\)的较小值。另外还要考虑\(\lfloor\frac{k}{i}\rfloor=0\)的情况。
对于\(n>k\)的情况,把额外值加上即可。要明确\(n-k\)以及\(k\)的含义呀!
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
ll n, k;
scanf("%lld%lld", &n, &k);
ll ans = 0, extra = 0;
if (n > k)
{
extra = (n - k) * k;
n = k;
}
for (ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
{
int divVal;
r = (divVal = k / l) ? min(n, k / (k / l)) : n;
ans += divVal * ((r - l + 1) * (l + r) / 2);
assert(ans > 0);
}
printf("%lld\n", n * k - ans + extra);
return 0;
}
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