luogu2261 [CQOI2007] 余数之和

题目大意

求

\[\sum_{i=1}^{n}(k\mod i)
\]

\(n,k\leq 10^9\)。

题解

先只考虑\(n\leq k\)的情况。

\[\sum_{i=1}^{n}(k\mod i)=\sum_{i=1}^{n}k-i\lfloor \frac{k}{i}\rfloor=kn-\sum_{i=1}^{n}i\lfloor \frac{k}{i}\rfloor
\]

看到

\[\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac{k}{i}\rfloor
\]

则想到整除分块。

整除分块

结论：

\[\lfloor \frac{k}{i}\rfloor=\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor}\rfloor
\]

规律

当\(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor\)一定时，所有满足上式的\(i\)都在一段连续的区间内（组成了一块），区间右端点是\(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor\)。

因此操作时，直接对一块进行统一操作即可。

数学推导

令一块的左端点为\(l\)，右端点为\(r\)，\(v=\frac{k}{r}\)，我们现在要求一块内的和

\[\sum_{i=l}^{r}iv=\sum_{i=0}^{r-l}v(l+i)=v\sum_{i=0}^{r-l}(l+i)
\]

此时注意：和式中运算的次数为\(r-l-0+1=r-l+1\)，而不是\(r-l\)。所以接下来

\[原式\neq v(l(r-l)+\sum_{i=0}^{r-l}i)
\]

\[原式=v(l(r-l+1)+\sum_{i=0}^{r-l}i)
\]

在这里错了就完了！

最终运用等差数列的知识得到

\[原式=\frac{v(r+l)(r-l+1)}{2}
\]

把所有的上式加起来再被\(nk\)一减即可。

注意

边界条件：赋值\(r\)时，它不能直接等于\(\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{i}\rfloor}\rfloor\)，而应当是它和\(n\)的较小值。另外还要考虑\(\lfloor\frac{k}{i}\rfloor=0\)的情况。

对于\(n>k\)的情况，把额外值加上即可。要明确\(n-k\)以及\(k\)的含义呀！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long

int main()
{
	ll n, k;
	scanf("%lld%lld", &n, &k);
	ll ans = 0, extra = 0;
	if (n > k)
	{
		extra = (n - k) * k;
		n = k;
	}
	for (ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
	{
		int divVal;
		r = (divVal = k / l) ? min(n, k / (k / l)) : n;
		ans += divVal * ((r - l + 1) * (l + r) / 2);
		assert(ans > 0);
	}
	printf("%lld\n", n * k - ans + extra);
	return 0;
}