【BZOJ】2286: [Sdoi2011消耗战

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2286

题意：n个点的边加权树，m个询问，每次询问给出的k个点与结点1分离的最小代价。（n<=250000, sum{ki}<=500000）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=250005, oo=0x7f7f7f7f;
int dep[N], FF[N], f[N][21], mn[N][21], n, m, a[N], s[N], top, tot, nd[N];
struct Gr {
	int ihead[N], cnt;
	struct E { int next, to, w; }e[N<<1];
	void add(int x, int y, int c=0) {
		e[++cnt]=(E){ihead[x], y, c}; ihead[x]=cnt;
		e[++cnt]=(E){ihead[y], x, c}; ihead[y]=cnt;
	}
	void dfs(int x) {
		FF[x]=++tot;
		for(int i=1; i<=20; ++i) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1], mn[x][i]=min(mn[x][i-1], mn[f[x][i-1]][i-1]);
		for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(e[i].to!=f[x][0]) {
			f[e[i].to][0]=x; dep[e[i].to]=dep[x]+1; mn[e[i].to][0]=e[i].w;
			dfs(e[i].to);
		}
	}
	int LCA(int x, int y) {
		if(dep[x]<dep[y]) swap(x, y);
		int d=dep[x]-dep[y];
		for(int i=20; i>=0; --i) if((d>>i)&1) x=f[x][i];
		if(x==y) return x;
		for(int i=20; i>=0; --i) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i], y=f[y][i];
		return f[x][0];
	}
	int dist(int x, int y) {
		int ret=oo;
		if(dep[x]<dep[y]) swap(x, y);
		int d=dep[x]-dep[y];
		for(int i=20; i>=0; --i) if((d>>i)&1) ret=min(ret, mn[x][i]), x=f[x][i];
		return ret;
	}
	ll dp(int x, int fa=0) {
		ll ret=0;
		for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(e[i].to!=fa)
			ret+=min(nd[e[i].to]?(ll)oo:dp(e[i].to, x), (ll)dist(x, e[i].to));
		return ret;
	}
	void clr(int x, int fa=0)  { for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(e[i].to!=fa) clr(e[i].to, x); ihead[x]=0; }
}g, G;
bool cmp(const int &a, const int &b) { return FF[a]<FF[b]; }
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<n-1; ++i) { int x, y, c; scanf("%d%d%d", &x, &y, &c); G.add(x, y, c); }
	memset(mn, 0x7f, sizeof mn);
	G.dfs(1);
	int T; scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d", &m);
		for(int i=0; i<m; ++i) scanf("%d", &a[i]), nd[a[i]]=1;
		sort(a, a+m, cmp);
		s[top=1]=1;	g.clr(1); g.cnt=0;
		for(int i=0; i<m; ++i) {
			int x=a[i], lca=G.LCA(x, s[top]);
			while(FF[lca]<FF[s[top]]) {
				if(FF[lca]>=FF[s[top-1]]) {
					g.add(lca, s[top--]);
					if(lca!=s[top]) s[++top]=lca;
					break;
				}
				g.add(s[top], s[top-1]); --top;
			}
			if(s[top]!=x) s[++top]=x;
		}
		while(--top) g.add(s[top], s[top+1]);
		printf("%lld\n", g.dp(1));
		for(int i=0; i<m; ++i) nd[a[i]]=0;
	}
	return 0;
}

　　

学习了下虚树= =（为何啥玩意都喜欢加上一个名词？其实虚树 = dfs序 + lca + 单调栈

首先容易想到树dp：$f(x) = \sum_{y是孩子} min(y点必需割?w(x, y):f(y), w(x, y))$

可是复杂度$O(nm)$无法承受...

发现每一次计算很多点是不需要计算的= =比如说两个点之间的链= =用倍增就能得到链的最小值辣...

于是将图重建一个包括x个点以及他们两两之间的lca的树。【可是这样最坏也是n个点都被加入了啊QAQ比如完全二叉树= =...感觉能分分钟卡啊....】（博主纯属sb，泥忘记了有sum ki<=500000的条件么= =

方法就是先求出dfs序然后对于每次询问先对点进行dfs序排序，然后再维护一个dfs序递增的一条链（1点到x点的链）的栈，顺序加入每个点，维护以下性质（包括得到的性质）：

1、对任意$i>j$，$dfn(s[i]) > dfn(s[j])$，而排序后可知任意$x$都有$dfn(x)>dfn(s[top])$

2、$f = lca(x, s[top])$在$s[1]~s[top]$中

3、当$f \neq s[top]$时，$f$到$s[top]$之间的点以及$s[top]$的子树都不再对要加入的$lca$有贡献了，因为可以用$f$替代。由前两点性质可证。

所以具体算法就是先按dfs序排序给出的节点$a$，然后依次加入每个点。令$f = lca(s[top], a[now])$，如果$f$在$s[top]$和$s[top-1]$之间，那么$f$和$s[top]$连边，删掉$s[top]$。否则一直删栈顶且连边，直到刚刚满足$f$在$s[top]$和$s[top-1]$之间。最后再加入节点$a[now]$即可。

然后注意最后树dp的时候不要忘记是新图啊！不是原来的father啊！一开始没判re了好多次啊！

（还有写完代码发现和别人的代码相似度为99%是什么鬼啊！

最坏复杂度$O(nm)$，但是数据你懂的= =（所以说虚树属于卡常啊！（博主纯属sb