[多校联考2 T3] 排列 (DP)

DP

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Description

对于一个排列，考虑相邻的两个元素，如果后面一个比前面一个大，表示这个位置是上升的，用 I 表示，反之这个位置是下降的，用 D表示。如排列 3,1,2,7,4,6,5 可以表示为 DIIDID。 现在给出一个长度为 n-1的排列表示，问有多少种 1 到n 的排列满足这种表示。

Input

一个字符串 S，S 由 I，D，？组成。？表示这个位置既可以为 I，又可以为 D

对于 20%的数据，S 长度 ≤ 10；

对于 100%的数据，S长度 ≤ 1000。

Output

有多少种排列满足上述字符串。输出排列数模 1000000007。

Sample Input

?D

Sample Output

3

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这是一道比较裸的动态规划题目，dp[i][j]表示前 i 位数中，最后一位为第 j 大的方案数。即当转移到i时，前 i - 1 位数是1 ~ i-1 中的数。此时：

1. 如果输入为 I，那么 j 可由 1 ~ j-1 转移过来，大于等于 j 的数都加一即可保证前 i 个数为1 ~ i；
2. 如果输入为 D，则 j 可由 j ~ i-1 转移而来，同样，大于等于 j 的数字都加一。
3. 如果输入为 ？，则将前两种方案加起来。

在实际转移过程中，不用涉及到大于等于 j 的数加一，只需知道转移原理即可。

但是如果直接这样转移当然是不行的，还需注意到，题目中 \(n <= 10^3\)，

转移是\(n^3\),会超时。所以我们可以在转移之前维护一个前缀和即可去掉一个\(n\)。使时间复杂度降为\(n^2\)。如果害怕爆空间，还可以采用滚动数组进行优化。

Ps: 本题还有一个点需要注意，由于前缀和取了模，在算下降情况时，可能会出现负数，所以先加上一个mod再取模。

至此，问题完美解决。

代码

#include <cstdio>

int dp[2][1005];
const int mod = 1000000007;

int main() {
	dp[0][1] = 1;
	int cur = 0;
	char x = getchar();
	int i = 1;
	while(x == 'I'||x == 'D'||x == '?') {
		cur ^= 1;i++;
		for(int j = 1;j < i;j++)dp[cur^1][j] += dp[cur^1][j-1],dp[cur^1][j] %= mod,dp[cur][j] = 0;

		if(x == 'I') {
			for(int j = 2;j <= i;j++)dp[cur][j] = dp[cur^1][j-1],dp[cur][j] %= mod;
		}
		if(x == 'D') {
			for(int j = 1;j < i;j++)dp[cur][j] = dp[cur^1][i-1] - dp[cur^1][j-1] + mod,dp[cur][j] %= mod;
		}
		if(x == '?') {
			for(int j = 2;j <= i;j++)dp[cur][j] = dp[cur^1][j-1],dp[cur][j] %= mod;
			for(int j = 1;j < i;j++)dp[cur][j] += dp[cur^1][i-1] - dp[cur^1][j-1] + mod,dp[cur][j] %= mod;
		}
		x = getchar();
	}
	int ans = 0;
	for(int j = 1;j <= i;j++)ans = (ans + dp[cur][j]) % mod;
	printf("%d",ans);

	return 0;
}