【ACwing 96】奇怪的汉诺塔——区间dp

(题面来自ACwing）

汉诺塔问题，条件如下：

1、这里有A、B、C和D四座塔。

2、这里有n个圆盘，n的数量是恒定的。

3、每个圆盘的尺寸都不相同。

4、所有的圆盘在开始时都堆叠在塔A上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。

5、我们需要将所有的圆盘都从塔A转移到塔D上。

6、每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。

请你求出将所有圆盘从塔A移动到塔D，所需的最小移动次数是多少。

输入格式

没有输入

输出格式

对于每一个整数n(1≤n≤12),输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

　　三个柱子的汉诺塔问题最小步数存在通项公式：2^n - 1，其中n为圆盘数。这个式子很容易由首项a_1 = 1和递推公式a_n = a_(n-1) * 2 + 1得到。递推式的含义是，先利用2个柱子把上面的n-1个圆盘移到B柱上，把第n个圆盘移到C上，再把B柱上的n-1个移到C上。

　　四个柱子的汉诺塔问题并不是简单的逐项递推，需要在转移时做出决策。设g[n]为n盘3柱问题的最短步数，f[n]为n盘4柱问题的最短步数，状态转移方程：

　　f[i] = min(f[i - j] * 2 + g[j])

　　其中j属于[1, i)。这个式子的含义是，我们选择上面的i - j个圆盘，在4柱模式下把它们移到B柱上，然后用其余的3个柱子把剩下的i个圆盘移到D柱上，最后把B柱上的圆盘在4柱模式下移到D柱上。

代码：

1. #include <cstdio>
2. #include <cstring>
3. #include <iostream>
4. using namespace std;
5. int g[20], f[20], ans;
6. int main() {
7. for (int i = 1; i <= 12; ++i)
8. g[i] = (1 << i) - 1;
9. puts("1");  //特判1个圆盘
10. memset(f, 0x3f, sizeof(f));
11. f[1] = 1;
12. for (int i = 2; i <= 12; ++i) {
13. for (int j = 1; j < i; ++j)
14. f[i] = min(f[i], 2 * f[j] + g[i - j]);
15. printf("%d\n", f[i]);
16. }
17. return 0;
18. }