luogu_2831: 愤怒的小鸟

洛谷2831：愤怒的小鸟(状压\(dp\))

题意：

• 在二维平面上给定\(n\)个点\((1\leq n\leq18)\)。
• 其中每个点用\((x_i,y_i)\)表示\((0<x_i,y_i<10)\)，输入均保留两位小数。
• 求最少多少个经过原点的抛物线贯穿所有点。

输入格式：

• 第一行输入一个整数\(T\)代表有T组测试样例。
• 第二行输入两个整数\(n\)和\(m\)分别代表有多少个点和\(m\)的限制(见题意)。
  • 其实这个\(m\)没什么用
• 接下来\(n\)行输入每行输入两个浮点数表示点的坐标。

输出格式：

• 输出\(T\)个整数表示答案。

思路：

• 这个数据范围不是爆搜就是状压。

• 首先题面说明必须要经过原点，所以原本三点确定抛物线，现在我们可以用两个点就能确定一条抛物线了。

• 所以可以用\(line(i,j)\)表示穿过\(i,j\)的抛物线所能经过所有点的集合。

• 再设\(f(s)\)表示在\(s\)状态下已经穿过了的点所需要的最少抛物线数。

• 当然，有：

  • \(f(0)=0\)
  • 枚举没有被穿过的点\(i,j\)
    • \(f(s|line(i,j))=min(f(s|line(i,j)),f(s)+1)\)
  • 考虑有些点可能只能用一条抛物线单独穿过，即他不能和其他点计算出合法抛物线。
  • 所以还需要枚举未穿过的点对其单独穿过。
    • \(f(s|(1<<(i-1)))=min(f(s|1<<(i-1)),f(s)+1)\)
  • 最后答案为\(f((1<<n)-1)\)

• 需要遍历整个状态，所以有\(2^n\)，同时需要枚举\(i\)和\(j\)。

• 总复杂度为\(O(Tn^22^n)\)带入\(n==18\)算一下发现稍微有点危险。

• 所以考虑优化

• 优化\(1:\)

  • 当\(i\in S\)或者\(j\in S\)时没必要转移。(但这只是一个常数优化)

• 优化\(2:\)

  • 对于每一个状态\(i\)，我们找到他正数第一个没有被穿过的抛物线进行转移后\(break\)掉。
  • 因为如果转移了第一个后面的某一个没有被穿过的点，在转移的过程中还是需要穿过第一个点。
  • 所以我们每次处理第一个没被处理的点，后面的一个一个轮着转移就行了。

• 怎么判断一个点是不是在另外两个点确定的抛物线上？

  • 

• 即满足\(a,b\)的条件的时候就能判定在一条抛物线上了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 25, INF = 0x3f3f3f3f;

int T, n, m;
int line[maxn][maxn];
int f[1<<maxn];
double x[maxn], y[maxn];

inline bool same(double x, double y){
    return fabs(x - y) < 1e-6;
}

void init()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf%lf", &x[i], &y[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            line[i][j] = 0;

    //考虑ij每一种组合
    for(int i = 1; i <= n-1; i++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            if(same(x[i], x[j])) continue;  //如果他们在同一列
            double aa = (y[j]/x[j] - y[i]/x[i]) / (x[j]-x[i]);
            if(aa >= 0) continue;
            double bb = y[i]/x[i] - aa*x[i];
            for(int k = 1; k <= n; k++)
                if(same(aa*x[k]+bb, y[k]/x[k])) //如果他在这条抛物线上
                    line[i][j] |= (1<<(k-1));
        }
    for(int i = 0; i <= (1<<n)-1; i++) f[i] = INF; f[0] = 0;
}

int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        init();
        for(int i = 0; i <= (1<<n)-1; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                if(!(i&(1<<(j-1)))) //如果这里有一个没有穿过的点
                {
                    for(int k = j; k <= n; k++) //前面的已经串好了
                    {
                        if(j == k)
                            f[i|(1<<(j-1))] = min(f[i|(1<<(j-1))], f[i]+1);
                        if(same(x[j], x[k])) continue;
                        //用已有的线好还是再多一条线好
                        f[i|line[j][k]] = min(f[i|line[j][k]], f[i]+1);
                    }
                    break;
                }
        }
        //输出答案
        printf("%d\n", f[(1<<n)-1]);
    }
    return 0;
}