正余弦信号的DFT频谱分析

一般的，对正余弦信号进行採样并DFT运算，画出频谱图，会发现频谱并不干净。这样的现象称为频谱泄漏。由于DFT运算仅仅能是有限序列，突然的截断产生了泄漏。

会有这种特殊情况。当採样截取的刚好是整数个周期，则频谱图显得特别干净。

能够理解为刚好取的完整周期。周期性明显了，频率就比較单一。

为此做了matlab实验：

ts = 0.01;%採样率100Hz

n = 0:N-1;

y = sin(2*pi*20*n*ts);%20Hz信号，每周期採5个点

xk = abs(fft(y,N));%注意依据fft算法，这里的N和序列长度N是一样的

stem(xk);

当N = 20、22、24、25时的频谱：

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvaHVudGVybGV3/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">

由于20和25是5的倍数。取的周期是完整的。所以频谱是干净的。这就是所谓的特殊情况。

但一般的，取不到完整的周期，频谱泄漏是避免不了的。并且泄露的严重了会影响分辨能力。那么接下来的问题是，怎么提高分辨力？

我们试一试採样点数，同一时候FFT点数也添加了。当N=64时的频谱：

通常DFT点数能够添加。採样点数添加不了。于是我们有了补零的方法。

以上面的样例为例。还是64点DFT，可是n是0:24，后面的补零，即 y = [sin(2*pi*20*n*ts),zeros(1,39)];补到64个点。这样得到的频谱是：

我们再取高的点数。当採样点数等于DFT点数等于1024时的频谱：

当採样点数靠补零的方法补到1024个点的频谱：

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因此我们得到重要结论：

为了使得频谱更加精确，即逼近于DTFT的波形，有两种方法。第一种方法是採样长度和DFT长度都添加，假设可能应该尽可能採取这样的方法，这样的方法能提高实际的分辨率，降低泄漏。另外一种方法是添加DFT长度，而採样长度通过补零补到一样的长度。这样的方法仅仅能添加视在分辨率。该泄漏的还是泄漏了。