bzoj4819 [Sdoi2017]新生舞会

Description

学校组织了一次新生舞会，Cathy作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。有n个男生和n个女生参加舞会买一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。Cathy收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前认识没计算得出 a[i][j] ，表示第i个男生和第j个女生一起跳舞时他们的喜悦程度。Cathy还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，比如身高体重差别会不会太大，计算得出 b[i][j]，表示第i个男生和第j个女生一起跳舞时的不协调程度。当然，还需要考虑很多其他问题。Cathy想先用一个程序通过a[i][j]和b[i][j]求出一种方案，再手动对方案进行微调。Cathy找到你，希望你帮她写那个程序。一个方案中有n对舞伴，假设没对舞伴的喜悦程度分别是a'1,a'2,...,a'n，假设每对舞伴的不协调程度分别是b'1,b'2,...,b'n。令C=(a'1+a'2+...+a'n)/(b'1+b'2+...+b'n),Cathy希望C值最大。

Input

第一行一个整数n。

接下来n行，每行n个整数，第i行第j个数表示a[i][j]。

接下来n行，每行n个整数，第i行第j个数表示b[i][j]。

1<=n<=100,1<=a[i][j],b[i][j]<=10^4

Output

一行一个数，表示C的最大值。四舍五入保留6位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等

Sample Input

3
19 17 16
25 24 23
35 36 31
9 5 6
3 4 2
7 8 9

Sample Output

5.357143

正解：$01$分数规划+费用流。

好吧其实这题正解好像是$KM$算法，不过忘记写了。。

这是一道经典的$01$分数规划的问题，要解决这类问题，我们首先考虑二分答案。

如果$\frac{\sum_{i=1}^{n}a^{'}i}{\sum_{i=1}^{n}b^{'}i}>mid$

即$\sum_{i=1}^{n}a^{'}i>mid\sum_{i=1}^{n}b^{'}i$

$\sum_{i=1}^{n}a^{'}i-mid*b^{'}i>0$，那么$ans$就会更大。

所以我们每次跑费用流的费用就是$a[i][j]-mid*b[i][j]$，我们要求出这个图的最大费用最大流，那么我们把费用取反就行了。

然后我们判断这个费用是否可行，再二分就行了。实数二分，$eps$大概取$10^{-7}$吧。。

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 #include <algorithm>
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 #include <complex>
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 #include <cstdlib>
 #include <cstdio>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <set>
 #define inf (1e18)
 #define eps (1e-7)
 #define N (510)
 #define il inline
 #define RG register
 #define ll long long
 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

 using namespace std;

 struct edge{
     int nt,to,flow,cap;
     double dis;
 }g[];

 int head[N],f[N],vis[N],fa[N],p[N],a[N][N],b[N][N],q[],S,T,n,num,flow;
 double dis[N],cost,ans;

 il int gi(){
     RG int x=,q=; RG char ch=getchar();
     while ((ch<'' || ch>'') && ch!='-') ch=getchar();
     if (ch=='-') q=-,ch=getchar();
     while (ch>='' && ch<='') x=x*+ch-,ch=getchar();
     return q*x;
 }

 il void insert(RG int from,RG int to,RG int cap,RG double cost){
     g[++num]=(edge){head[from],to,,cap,cost},head[from]=num; return;
 }

 il int bfs(RG int S,RG int T){
     for (RG int i=;i<=T;++i) dis[i]=inf;
     RG int h=,t=; q[t]=S,dis[S]=,f[S]=<<,vis[S]=;
     while (h<t){
     RG int x=q[++h],v;
     for (RG int i=head[x];i;i=g[i].nt){
         v=g[i].to;
         if (dis[v]>dis[x]+g[i].dis && g[i].cap>g[i].flow){
         dis[v]=dis[x]+g[i].dis,fa[v]=x,p[v]=i;
         f[v]=min(f[x],g[i].cap-g[i].flow);
         if (!vis[v]) vis[v]=,q[++t]=v;
         }
     }
     vis[x]=;
     }
     if (fabs(dis[T]-inf)<eps) return ;
     flow+=f[T],cost+=f[T]*dis[T];
     for (RG int i=T;i!=S;i=fa[i])
     g[p[i]].flow+=f[T],g[p[i]^].flow-=f[T];
     return ;
 }

 il int check(RG double key){
     RG double res; memset(head,,sizeof(head)),num=;
     for (RG int i=;i<=n;++i){
     insert(S,i,,),insert(i,S,,);
     insert(n+i,T,,),insert(T,n+i,,);
     }
     for (RG int i=;i<=n;++i)
     for (RG int j=;j<=n;++j){
         res=a[i][j]-key*b[i][j];
         insert(i,n+j,,-res),insert(n+j,i,,res);
     }
     flow=cost=; while (bfs(S,T)); return cost<eps;
 }

 il void work(){
     n=gi(),S=*n+,T=*n+;
     for (RG int i=;i<=n;++i)
     for (RG int j=;j<=n;++j) a[i][j]=gi();
     for (RG int i=;i<=n;++i)
     for (RG int j=;j<=n;++j) b[i][j]=gi();
     RG double l=0.0,r=100000.0,mid;
     while (fabs(r-l)>eps){
     mid=(l+r)/;
     if (check(mid)) ans=mid,l=mid; else r=mid;
     }
     printf("%0.6lf",ans); return;
 }

 int main(){
     File("ball");
     work();
     return ;
 }