[BZOJ 1874] [BeiJing2009 WinterCamp] 取石子游戏 【博弈论 | SG函数】

题目链接：BZOJ - 1874

题目分析

这个是一种组合游戏，是许多单个SG游戏的和。

就是指，总的游戏由许多单个SG游戏组合而成，每个SG游戏（也就是每一堆石子）之间互不干扰，每次从所有的单个游戏中选一个进行决策，如果所有单个游戏都无法决策，游戏失败。

有一个结论，SG(A + B + C ... ) = SG(A)^SG(B)^SG(C) ...

这道题每堆石子不超过 1000 ， 所以可以把 [0, 1000] 的 SG 值暴力求出来，使用最原始的 SG 函数的定义， SG(u) = mex(SG(v))           E(u -> v) 。

注意 m <= 10 所以一个状态 i 的后继状态不超过 10 个，那么它的 SG 值不会超过 10 。

然后将每一堆的 SG 值异或起来。如果必胜，就按照顺序枚举一下所有初始方案，找到必胜的就输出并退出。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MaxNum = 1000 + 5, MaxN = 10 + 5;

int n, m, Mark_Index;
int A[MaxN], B[MaxN], SG[MaxNum], Mark[MaxN];

void Calc_SG() {
    SG[0] = 0;
    Mark_Index = 0;
    memset(Mark, 0, sizeof(Mark));
    for (int i = 1; i <= 1000; ++i) {
        ++Mark_Index;
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            if (B[j] > i) continue;
            Mark[SG[i - B[j]]] = Mark_Index;
        }
        for (int j = 0; j <= 10; ++j) {
            if (Mark[j] != Mark_Index) {
                SG[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &A[i]);
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d", &B[i]);
    Calc_SG();
    int Temp = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) Temp ^= SG[A[i]];
    if (Temp == 0) printf("NO\n");
    else {
        printf("YES\n");
        bool Flag = false;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                if (B[j] > A[i]) continue;
                if ((Temp ^ SG[A[i]] ^ SG[A[i] - B[j]]) == 0) {
                    Flag = true;
                    printf("%d %d\n", i, B[j]);
                    break;
                }
            }
            if (Flag) break;
        }
    }
    return 0;
}