纪中20日c组模拟赛T1 2121. 简单游戏

T1 2121. 简单游戏

(File IO): input:easy.in output:easy.out

时间限制: 1000 ms  空间限制: 262144 KB  具体限制

Goto ProblemSet

题目描述

      Charles和sunny在玩一个简单的游戏。若给出1~n的一个排列A，则将A1、A2相加，A2、A3相加……An-1、An相加，则得到一组n-1个元素的数列B；再将B1、B2相加，B2、B3相加，Bn-2、Bn-1相加，则得到一组n-2个元素的数列……如此往复，最终会得出一个数T。而Charles和sunny玩的游戏便是，Charles给出n和T，sunny在尽可能短的时间内，找到能通过上述操作得到T且字典序最小的1~n的排列。（sunny大声说：“What  an easy game！”，接着几下就给出了解），Charles觉得没意思，就想和你玩，当然，你可以用一种叫做“电子计算机”的东西帮你。

输入

       本题有多组数据，对于每组数据：一行两个整数n（0<n<=20），t即最后求出来的数。两个0表示输入结束

输出

      对于每组测试数据输出一行n个整数，用空格分开，行尾无多余空格，表示求出来的满足要求的1~n的一个排列。

样例输入

4 16
3 9
0 0 

样例输出

3 1 2 4
1 3 2

对样例解释：
开始排列：  3     1      2      4
第一次操作：3+1=4  1+2=3  2+4=6
     得到：  4      3      6
第二次得到：     7     9
最后就是：        16

数据范围限制

数据保证有解。请注意加粗字体！
对于30%的数据，保证该组里的每个N都不超过10。
对于100%的数据，保证有每个N不超过20，且每组数据的个数不超过10。

Solution

首先可以发现,对于一个长度为n的排列,经过了n-1次邻项相加后,第i项被加了C(n-1,i)次(二项式定理).

所以可以先预处理杨辉三角形。

Algorithm1

使用next_permutation方便的计算地排列

但是没有剪枝...很慢的

Code1

简单的垃圾代码

 #pragma GCC optimize(2)
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #define IL inline
 using namespace std;
 int tria[][]={
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 };
 //triangle
 int ans;
 int arr[],t,n;
 IL int read()
 {
     char ch;int x=;
     ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();
     while(ch>=''&&ch<='') x=(x<<)+(x<<)+(ch^),ch=getchar();
     return x;
 }
 int main()
 {
     freopen("easy.in","r",stdin);
     freopen("easy.out","w",stdout);
     n=read();
     t=read();
     do{
         for(int i=;i<=n;i++)
             arr[i]=i;
         do{
             ans=;
             int i;
             for(i=;i<=n&&ans<=t;i++)
                 ans+=arr[i]*tria[n][i];
             if(ans==t&&i>n){
                 for(int j=;j<=n;j++){
                     printf("%d",arr[j]);
                     if(j<n) printf(" ");
                 }
                 cout<<endl;
                 break;
             }
         }while(next_permutation(arr+,arr+n+));
         n=read();
         t=read();
     }while(n!=||t!=);
      return ;
 }

Code1

Algorithm2

使用dfs，对每一位进行判断，同时标记use（是否使用过此数）

这比next_permutation好在可以尽情剪枝——只要你能想到

Code2

这是剪枝1：如果当前的和（前depth个数的和）已经超过了t，就跳出。

也可以把

if(sum>t) return;

放到for循环里（这不是废话吗）

可以减少一点分支

按照题解上的说法，这样子只有40分（果然……）

 #pragma GCC optimize(2)
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #define IL inline
 using namespace std;
 int tria[][]={
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 };
 int use[];
 int ans;
 int arr[],t,n;
 IL int read()
 {
     char ch;int x=;
     ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();
     while(ch>=''&&ch<='') x=(x<<)+(x<<)+(ch^),ch=getchar();
     return x;
 }
 bool succ=;
 IL void dfs(int depth,int sum)
 {
     if(sum>t) return;
     if(succ) return;
     if(depth==n){
         if(sum==t)
         {
             succ=;
             for(int j=;j<=n;j++){
                 printf("%d",arr[j]);
                 if(j<n) printf(" ");
             }
             printf("\n");
         }
         return;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(!use[i])
         {
             use[i]=;
             arr[depth+]=i;
             dfs(depth+,sum+i*tria[n][depth+]);
             arr[depth+]=;
             use[i]=;
         }
     }
 }
 int main()
 {
 //    freopen("easy.in","r",stdin);
 //    freopen("easy.out","w",stdout);
     n=read();
     t=read();
     do{
         succ=;
         dfs(,);
         n=read();
         t=read();
     }while(n!=||t!=);
      return ;
 }

Algorithm3

这是剪枝2：

由于杨辉三角形有对称性

比如，枚举到 2 4 1 3 时，其sum（邻项合并后的结果）会与 2 1 4 3 相同

那么可以加入以下判断：

if(depth>(n/) && i<arr[n-depth]) continue;

代码翻译

如果当前要枚举的数即将放的位置超过了总长度的一半，且即将枚举的数值i小于与它关于这个二项式对称的那一项，那就说明这两项如果调换，总值不会发生变化，那么就不考虑这种情况。

这句话真长……

Code3

 #pragma GCC optimize(2)
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #define IL inline
 using namespace std;
 int tria[][]={
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 };
 int use[];
 int arr[],t,n;
 IL int read()
 {
     char ch;int x=;
     ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();
     while(ch>=''&&ch<='') x=(x<<)+(x<<)+(ch^),ch=getchar();
     return x;
 }
 bool succ=;
 IL void dfs(int depth,int sum)
 {
     if(succ) return;
     if(depth==n){
         if(sum==t)
         {
             succ=;
             for(int j=;j<=n;j++){
                 printf("%d",arr[j]);
                 if(j<n) printf(" ");
             }
             printf("\n");
         }
         return;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(!use[i])
         {
             if(depth>(n/) && i<arr[n-depth]) continue;
             if(sum+i*tria[n][depth+]>t) continue;
             use[i]=;
             arr[depth+]=i;
             dfs(depth+,sum+i*tria[n][depth+]);
             arr[depth+]=;
             use[i]=;
         }
     }
 }
 int main()
 {
 //    freopen("easy.in","r",stdin);
 //    freopen("easy.out","w",stdout);
     n=read();
     t=read();
     do{
         succ=;
         dfs(,);
         n=read();
         t=read();
     }while(n!=||t!=);
      return ;
 }

Code3

好的，果然如题解所说，这个剪枝并不能加分。

Algorithm4

这是剪枝3：枚举前，就当前还未使用的数字来讲，可以将它们重新排序，对应还没使用的系数，可以算出已选择的数字不变的情况下，让之后几个数排列组合，再乘以对应系数的和的最大值与最小值。

貌似我讲的不太清楚。

当枚举到第X个数时，剩余的N-X个数，与剩余的N-X个系数一一对应，让大数和大系数相乘，小数和小系数相乘可以得到最大值，让大数和小系数相乘，小数和大系数相乘可以得到最小值，如果剩余的值不在这个范围内，就不要搜下去，这样可以大大优化。

举个栗子

若N=4，T=16：

当枚举arr[1]=1时，剩余16-1*1=15，剩余的未放置的数为2，3，4，剩余的系数为1，3，3，这样最大值为4*3+3*3+2*1=23，最小值为4*1+3*3+2*3=19，都超过了15，所以第一个数不能选1。

Code4

 #pragma GCC optimize(2)
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #define IL inline
 using namespace std;
 int tria[][]={
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
 };
 int use[];
 int tarr[],ttria[];
 int arr[],t,n;
 IL int read()
 {
     char ch;int x=;
     ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();
     while(ch>=''&&ch<='') x=(x<<)+(x<<)+(ch^),ch=getchar();
     return x;
 }
 bool succ=;
 IL void dfs(int depth,int sum)
 {
     if(succ) return;
     if(depth==n){
         if(sum==t)
         {
             succ=;
             for(int j=;j<=n;j++){
                 printf("%d",arr[j]);
                 if(j<n) printf(" ");
             }
             printf("\n");
         }
         return;
     }

     int s=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(use[i]) continue;
         tarr[++s]=i;
     }
     for(int i=depth+;i<=n;i++)
         ttria[i-depth]=tria[n][i];
     sort(tarr+,tarr+s+);
     sort(ttria+,ttria+s+);
     int maxs=,mins=;
     for(int i=;i<=s;i++)
     {
         maxs+=tarr[i]*ttria[i];
         mins+=tarr[i]*ttria[s-i+];
     }
     if(t<mins+sum||t>maxs+sum) return;

     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(!use[i])
         {
             if(depth>(n/) && i<arr[n-depth]) continue;
             if(sum+i*tria[n][depth+]>t) continue;
             use[i]=;
             arr[depth+]=i;
             dfs(depth+,sum+i*tria[n][depth+]);
             arr[depth+]=;
             use[i]=;
         }
     }
 }
 int main()
 {
 //    freopen("easy.in","r",stdin);
 //    freopen("easy.out","w",stdout);
     n=read();
     t=read();
     do{
         succ=;
         dfs(,);
         n=read();
         t=read();
     }while(n!=||t!=);
      return ;
 }

Impression

好辛苦呀~~~