@atcoder - AGC040C@ Neither AB nor BA

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@description@

给定偶数 N，求由 'A', 'B', 'C' 三种字符组成的字符串 S，有多少满足如下的条件：

每次可以选择 S 中的两个相邻字符（不能选择 "AB" 与 "BA"），删除它们。最后可以将 S 删成空串。

比如："ABBC" -> "AC" -> ""。所以 "ABBC" 对于 N = 4 时是合法的。

将最终答案 mod 998244353。

Constraints

2≤N≤10^7, 并保证 N 为偶数

Input

输入形式如下：

N

Output

输出答案 mod 998244353。

Sample Input 1

2

Sample Output 1

7

除了 "AB", "BA" 都可行。

@solution@

考虑删除连续 2 个字符，哪些东西不会变化。

这时你会惊讶地发现：一个字符在字符串中的所处位置的奇偶性不会变化。

其实挺容易验证。假如在删除的前面，不会影响；假如在删除的后面，位置向前移动 2，奇偶不变。

那么一个奇数位置上的 "A" 与一个偶数位置上的 "B" 永远不可能互相消；一个偶数位置上的 "B" 与一个奇数位置上的 "A" 也永远不可能互相消。这些字符需要其他的字符消掉。

记 S1 = 奇数位置的 "A" 数量 + 偶数位置的 "B" 数量，那么应有 2*S1 <= N。

同理记 S2 = 奇数位置的 "B" 数量 + 偶数位置的 "A" 数量，那么应有 2*S2 <= N。

其实以上两个条件 (2*S1 <= N, 2*S2 <= N) 就是充要条件。

可以归纳验证。假如 2*S1 = N, 2*S2 = N 同时满足，则我们可以同时消 S1 与 S2；否则我总是消 S1 与 S2 的较大值。

那么最终答案就是 3^N - (2*S1 > N 的方案数) - (2*S2 > N 的方案数)。

随便组合计数一下就没了。

@accepted code@

#include <cstdio>
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 10000000;
int sub(int x, int y) {return x - y < 0 ? x - y + MOD : x - y;}
int pow_mod(int b, int p) {
	int ret = 1;
	while( p ) {
		if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
		b = 1LL*b*b%MOD;
		p >>= 1;
	}
	return ret;
}
int pw2[MAXN + 5], fct[MAXN + 5], ifct[MAXN + 5];
void init() {
	pw2[0] = 1;
	for(int i=1;i<=MAXN;i++)
		pw2[i] = 2LL*pw2[i-1]%MOD;
	fct[0] = 1;
	for(int i=1;i<=MAXN;i++)
		fct[i] = 1LL*fct[i-1]*i%MOD;
	ifct[MAXN] = pow_mod(fct[MAXN], MOD-2);
	for(int i=MAXN-1;i>=0;i--)
		ifct[i] = 1LL*ifct[i+1]*(i+1)%MOD;
}
int comb(int n, int m) {
	return 1LL*fct[n]*ifct[m]%MOD*ifct[n-m]%MOD;
}
int main() {
	init();	int N;
	scanf("%d", &N);
	int ans = pow_mod(3, N);
	for(int i=N/2+1;i<=N;i++)
		ans = sub(ans, 2LL*comb(N, i)*pw2[N-i]%MOD);
	printf("%d\n", ans);
}

@detail@

老年选手连 AGC 的 C 题都做不出来了 QAQ。

整了一个上午 + 一个晚上，最后还是看了题解 QAQ。

感觉主要是。。。想不到根据位置的奇偶性来分析吧。。。

吃一堑，长一智.jpg。

为什么 AGC 这么喜欢出这种类型的题啊 QAQ。

人类智慧实在是太强大了 QAQ。