嘴巴题7 BZOJ1426: 收集邮票

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Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且
买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k
张邮票需要支付k元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

HINT

Source

题解

奥妙重重的概率dp

题解在这里

懒得打详细推到了，思路简单列一列

\(g[i]\)表示现在有\(i\)张，要买到\(n\)张的期望次数
\(P(x,i)\)表示买x次能买到第\(i+1,i+2,\ldots,n\)种邮票的概率，有
\[g[i]=\sum_{x=0}^{\infty}x\times P(x,i)\]

考虑下一张，有\(\frac{i}{n}\)的概率拿到已有的\(i\)张的某一种，有\(\frac{n-i}{n}\)的概率拿到没有的那\(n-i\)种，有
\[g[i] = g[i+1]\times \frac{n-i}{n} + g[i]\times \frac{i}{n} + 1\]

化简有
\[g[i] = g[i+1] + \frac{n}{n-i},g[n] = 0\]

\(f[i][j]\)表示现在有\(i\)张，下一张\(j\)元，买到\(n\)张的期望价钱，转移有：
\[f[i][j] = f[i][j+1]\times \frac{i}{n}+f[i+1][j+1]\times \frac{n-i}{n}+j\]
又有
\[f[i][j]=\sum_{x=0}^{\infty}[j + (j+1) + (j+2) + \ldots + (x+j-1)]\times P(x,i)\]
等差数列求和后作差（\(f[i][j+1]-f[i][j]\)），化简得到
\[g[i] = f[i][j + 1] - f[i][j]\]

把这个式子带入上面那个\(f[i][j] = f[i][j+1]\times \frac{i}{n}+f[i+1][j+1]\times \frac{n-i}{n}+j\)消去\(j + 1\)变成\(j\)

化简，会发现跟\(j\)没关系，把\(j\)全带成\(1\)，得到
\[f[i] = f[i+1]+g[i+1]+g[i]\times \frac{i}{n-i} + \frac{n}{n-i}\]