【BestCoder Round #93 1004】MG loves set

【题目链接】:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6022

【题意】



让你求一个集合的子集数目;

这个子集有要求;

即:

它所有元素的平方的和小于它所有元素的和的平方。

【题解】



假设一个集合大小为3元素为a1,a2,a3

则

a12+a22+a32<=(a1+a2+a3)2

化简一下可以得到

a1∗a2+a1∗a3+a2∗a3>=0

所以原限制条件其实可以转化为一个集合里面任意两个数的乘积的和大于等于0;

但是你不好直接去枚举这个集合的子集；

->有230的规模

这里用到了meet-in-the-middle这种方法(自行百度);

先处理215规模的;

即把整个序列分成等大的两部分;

先处理前面一半;

这前面一半;

枚举每个元素在不在子集当中;

然后算出每个子集的所有元素的和sumA

sumA=a1+a2+a3..+al

以及sqrsumA

sqrsumA=a12+a22+a32+...+al2

然后把

(sumA,(sumA2−sqrsumA)/2)

当成一个点来对待->(x,y)

注意这里的y其实就是A集合中任意两个数的乘积

然后把这个点存在kd-tree里面,并以这些点构建出一棵kd-tree;

然后再枚举序列的右半部分;

即n/2+1..n这一段

同样枚举这一段每个元素在不在子集中;

->这样又有了另外一个子集B

同样处理出sumB

sumB=b1+b2+b3..+bl

以及sqrsumB

sqrsumB=b12+b22+b32+...+bl2

然后同样的处理出下面这个点

(sumB,(sumB2−sqrsumB)/2)

这里的y变成是B集合的任意两个元素的乘积了;

然后考虑把B集合和之前的某个A集合合在一起;

那么我们要怎么搞出那个新的集合的任意两个元素的乘积呢;

那就是sumA*sumB+ya+yb了

这里sumA*sumB=a1*b1+a1*b2….

ya就是A集合任意两个数乘积的和,yb就是…

你想想两个集合连在一起后会变成什么样？

懂了吧;

所以我们现在的问题就转化为;

已经知道了直线

k*x+b+y的两个参数k和b;

然后(x,y)是A集合的那两个参数泛化成的坐标;

然后要求满足k*x+b+y>=0的(x,y)的个数;

用kd-tree能够轻松的搞定这个问题;

因为最后有两个集合都是空集的情况,所以答案要减1。



【完整代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define ps push_back
#define fi first
#define se second
#define rei(x) scanf("%d",&x)
#define rel(x) scanf("%lld",&x)
#define ref(x) scanf("%lf",&x)
#define pd(a,b,c) (a*c.d[0]+b+c.d[1]>=0)

typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<LL, LL> pll;

const int dx[9] = { 0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1 };
const int dy[9] = { 0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1 };
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 33;
const int MAXN = 65540;

int n,now,root;
LL a[N];

struct point
{
    int  n,sie, l, r;
    LL d[2],mi_n[2],ma_x[2];
};

point t[MAXN];

bool cmp_1(point a, point b)
{
    return a.d[now] < b.d[now];
}

void gengxin(int father, int son)
{
    for (int i = 0; i <= 1; i++)
    {
        t[father].mi_n[i] = min(t[father].mi_n[i], t[son].mi_n[i]);
        t[father].ma_x[i] = max(t[father].ma_x[i], t[son].ma_x[i]);
    }
}

void up_data(int rt)
{
    int l = t[rt].l, r = t[rt].r;
    if (l)
        gengxin(rt, l);
    if (r)
        gengxin(rt, r);
}

int build(int begin, int end, int fx)
{
    int m = (begin + end) >> 1;
    now = fx;
    nth_element(t + begin, t + m, t + end + 1, cmp_1);
    for (int i = 0; i <= 1; i++)
        t[m].mi_n[i] = t[m].ma_x[i] = t[m].d[i];
    t[m].sie = end - begin + 1;
    if (begin < m) t[m].l = build(begin, m - 1, 1 - fx); else t[m].l = 0;
    if (m < end) t[m].r = build(m + 1, end,1 - fx);else t[m].r = 0;
    up_data(m);
    return m;
}

LL query(int rt, point a)
{
    if (!rt) return 0;
    int ju = 0;
    ju += pd(t[rt].mi_n[0], t[rt].mi_n[1], a);
    ju += pd(t[rt].mi_n[0], t[rt].ma_x[1], a);
    ju += pd(t[rt].ma_x[0], t[rt].mi_n[1], a);
    ju += pd(t[rt].ma_x[0], t[rt].ma_x[1], a);
    if (ju == 4)
        return t[rt].sie;
    if (ju == 0)
        return 0;
    ju = pd(t[rt].d[0], t[rt].d[1], a);
    return ju + query(t[rt].l, a) + query(t[rt].r, a);
}

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt", "r", stdin);
    int T;
    rei(T);
    while (T--)
    {
        LL ans = 0;
        rei(n);
        rep1(i, 1, n)
            rel(a[i]);
        LL l = n / 2;
        rep1(i, 0, (1 << l) - 1)
        {
            LL sum = 0, sqrsum = 0;
            rep1(j,1,l)
                if (i&(1 << (j - 1)))
                    sum += a[j], sqrsum += a[j] * a[j];
            t[i + 1].d[0] = sum, t[i + 1].d[1] = (sum*sum - sqrsum) / 2;
        }
        root = build(1, 1 << l, 0);
        l = n - l;
        rep1(i, 0, (1 << l) - 1)
        {
            LL sum = 0, sqrsum = 0;
            rep1(j, n / 2 + 1, n)
                if (i&(1 << (j - n / 2 - 1)))
                    sum += a[j], sqrsum+=a[j] * a[j];
            point t;
            t.d[0] = sum, t.d[1] = (sum*sum - sqrsum) / 2;
            ans += query(root, t);
        }
        printf("%lld\n", ans-1);
    }
    //printf("\n%.2lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}