Codeforces 612E - Square Root of Permutation

E. Square Root of Permutation

A permutation of length n is an array containing each integer from 1 to n exactly once. For example, q = [4, 5, 1, 2, 3] is a permutation. For the permutation q the square of permutation is the permutation p that p[i] = q[q[i]] for each i = 1… n. For example, the square of q = [4, 5, 1, 2, 3] is p = q^2 = [2, 3, 4, 5, 1].

This problem is about the inverse operation: given the permutation p you task is to find such permutation q that q^2 = p. If there are several such q find any of them.
Input

The first line contains integer n (1 ≤ n ≤ 106) — the number of elements in permutation p.

The second line contains n distinct integers p1, p2, …, pn (1 ≤ pi ≤ n) — the elements of permutation p.
Output

If there is no permutation q such that q2 = p print the number “-1”.

If the answer exists print it. The only line should contain n different integers qi (1 ≤ qi ≤ n) — the elements of the permutation q. If there are several solutions print any of them.
Sample test(s)
Input

4
2 1 4 3

Output

3 4 2 1

Input

4
2 1 3 4

Output

-1

Input

5
2 3 4 5 1

Output

4 5 1 2 3

数组表示的就是映射关系 如a[1] = 2;就表示为1 -> 2;但是题目给定是i -> (a[i]) -> a[j] (a[j] = a[a[i]]);现在我们知道i和a[j]要求的是a[i];

置换的预备知识：
(a1,a2,a3)表示a1->a2,a2->a3,a3->a1；由于映射为一一对应关系，具有可逆性；(求解的依据)
对于一个置换(a1…an)一定可以划分为若干个不相交的循环
如(2,1,4,3) 变成置换之后为(1,2)(3,4)
特别注意循环乘法之间拆合关系(逆推原始的循环)以及元素位置的改变(得到答案): ans[位置] = val;

对于循环里面的元素个数为奇数时，(a[1],a[2],a[3])(a[1],a[2],a[3]) = (a[1],a[3],a[2]);即 a[1]->a[2]->a[3] ==>a[1]->a[3];同理a[2]->a[3]->a[1] ==>a[2]->a[1]; a[3] ->a[2];扩展到size = 2k+1个数的循环相乘呢？很容易知道当下标从0开始时；每个数的位置变成了2*i%size;同时告诉我们，循环的大小为奇数时，可以由自己生成，所以不用去管奇数的是否配对；

为偶数时:如(a1,a2,a3,a4)^2 = (a1,a3)(a2,a4);这就告诉我们，当p中分解出来的一个循环的大小为偶数时，循环只能由一个2*n的循环分裂得到(那我们在你想得到答案时就需要两个2k大小的循环合并成一个大小为4k的循环)，在这时判断是否无解；偶数大小的循环平方时个数二分；而奇数只是把同奇偶(以下标看奇偶)的合并在一起了；

在编码时，开始就是用了循环分解算法，分解成cnt个循环节；可能会怀疑为什么这就是在一个循环里面呢？依上面的置换乘积可以看出循环大小为奇数时，只是调换了元素的对应关系，但是并没有改变ai的值，所以我们只需按照这个调换关系，逆着推回去即可；(奇偶调换两次就等于没调换~~)，如果是偶数，那么分裂后还在一个循环中的元素，之前一定在同一个循环中，所以只需能配对就可以得到配对的两个的父循环~~(逆推的原理，也是理解的关键)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6+;
int B[MAXN],vis[MAXN],ans[MAXN],id[MAXN];
vector<int> v[MAXN];
#define pb push_back
bool cmp(const vector<int> &a,const vector<int> &b)
{
    return a.size() < b.size();
}
int main()
{
    int i,n,cnt = ,tot = ;
    cin>>n;
    for(i = ;i <= n;i++)
        scanf("%d",B+i);
    for(i = ;i <= n;i++)if(vis[i] != ){
        int tmp = i;
        ++cnt;
        do{
            vis[tmp] = ;
            v[cnt].pb(tmp);
            tmp = B[tmp];
        }while(tmp != i);
    }
    sort(v+,v++cnt,cmp);
    for(i = ;i <= cnt;i++){
        int sz = v[i].size();
        if(sz & ){
            for(int k = ;k < sz;k++)
                id[k*%sz] = v[i][k];
            for(int k = ;k < sz;k++)
                ans[id[k]] = id[(k+)%sz];
        }
        else if(sz == v[i+].size()){
            for(int k = ;k < sz;k++){
                ans[v[i][k]] = v[i+][k];
                ans[v[i+][k]] = v[i][(k+)%sz];
            }
            i++;
        }
        else{
            return puts("-1"),;
        }
    }
    for(i = ;i <= n;i++){
        printf("%d ",ans[i]);
    }
}

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