2432: [Noi2011]兔农 - BZOJ

Description

农夫栋栋近年收入不景气，正在他发愁如何能多赚点钱时，他听到隔壁的小朋友在讨论兔子繁殖的问题。

问题是这样的：第一个月初有一对刚出生的小兔子，经过两个月长大后，这对兔子从第三个月开始，每个月初生一对小兔子。新出生的小兔子生长两个月后又能每个月生出一对小兔子。问第n个月有多少只兔子？

聪明的你可能已经发现，第n个月的兔子数正好是第n个Fibonacci(斐波那契)数。栋栋不懂什么是Fibonacci数，但他也发现了规律：第i+2个月的兔子数等于第i个月的兔子数加上第i+1个月的兔子数。前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

栋栋发现越到后面兔子数增长的越快，期待养兔子一定能赚大钱，于是栋栋在第一个月初买了一对小兔子开始饲养。

每天，栋栋都要给兔子们喂食，兔子们吃食时非常特别，总是每k对兔子围成一圈，最后剩下的不足k对的围成一圈，由于兔子特别害怕孤独，从第三个月开始，如果吃食时围成某一个圈的只有一对兔子，这对兔子就会很快死掉。

我们假设死去的总是刚出生的兔子，那么每个月的兔子数仍然是可以计算的。例如，当k=7时，前几个月的兔子数依次为：

1 1 2 3 5 7 12 19 31 49 80 …

给定n，你能帮助栋栋计算第n个月他有多少对兔子么？由于答案可能非常大，你只需要告诉栋栋第n个月的兔子对数除p的余数即可。
Input

输入一行，包含三个正整数n, k, p。
Output

输出一行，包含一个整数，表示栋栋第n个月的兔子对数除p的余数。
Sample Input

6 7 100

Sample Output

7
HINT

1<=N<=10^18

2<=K<=10^6

2<=P<=10^9

简单题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内

我们要求的数列mod k之后是这样的1，1，2，3....a，0，1*a，1*a，2*a .... b，0，1*b 2*b ... 0

1 a b...这个数列也是有循环节的（可以通过求逆元求出这个数列），这个循环节长度在k以内（可能没有循环，后面mod k都不为1），然后加上矩阵快速幂即可

详细题解：斐波那契数列在mod k的意义下有循环节，长度在6*k之内

因为*/%……@%@￥%@￥#%…*&！@￥@￥%&*/@%

你们还是看VFK的吧

 const
     maxk=;
 type
     matrix=array[..,..]of int64;
 var
     a:array[..maxk*]of longint;
     first,last,b,len:array[..maxk]of longint;
     pre:array[..maxk]of longint;
     n,k,p,x,y:int64;
     ans,aa,bb:matrix;

 procedure exgcd(a,b:int64);
 var
     t:int64;
 begin
     if b= then
     begin
         if a= then x:=
         else x:=;
         y:=;
         exit;
     end;
     exgcd(b,a mod b);
     t:=x;
     x:=y;
     y:=t-(a div b)*y;
 end;

 procedure work;
 var
     i:longint;
 begin
     a[]:=;a[]:=;i:=;
     while true do
         begin
             inc(i);
             a[i]:=(a[i-]+a[i-])mod k;
             if first[a[i]]= then first[a[i]]:=i;
             if (a[i]=) and (a[i-]=) then break;
         end;
     for i:= to k- do
         begin
             exgcd(i,k);
             pre[i]:=(x mod k+k)mod k;
         end;
     b[]:=;last[]:=;i:=;
     while true do
         begin
             len[i]:=first[pre[b[i]]]-;
             if len[i]< then break;
             inc(i);
             b[i]:=int64(a[len[i-]])*b[i-]mod k;
             if last[b[i]]> then break;
             last[b[i]]:=i;
         end;
     aa[,]:=;aa[,]:=;aa[,]:=;aa[,]:=;
     bb:=aa;bb[,]:=p-;
 end;

 operator *(a,b:matrix)c:matrix;
 var
     i,j,k:longint;
 begin
     fillchar(c,sizeof(c),);
     for i:= to  do
         for j:= to  do
             for k:= to  do
                 c[i,k]:=(c[i,k]+a[i,j]*b[j,k])mod p;
 end;

 function f(a:matrix;n:int64):matrix;
 begin
     fillchar(f,sizeof(f),);
     f[,]:=;f[,]:=;f[,]:=;
     while n> do
         begin
             if n and = then f:=f*a;
             a:=a*a;
             n:=n>>;
         end;
 end;

 procedure main;
 var
     i,j:longint;
     s:matrix;
     sum:int64;
 begin
     read(n,k,p);
     if n< then
     begin
         writeln();
         exit;
     end;
     work;
     ans[,]:=;ans[,]:=;ans[,]:=;
     if n>len[] then
         begin
             dec(n,len[]+);
             ans:=ans*f(aa,len[]-)*bb;
         end
     else
         begin
             ans:=ans*f(aa,n-);
             n:=;
         end;
     i:=;
     while n> do
         begin
             if pre[b[i]]= then
             begin
                 ans:=ans*f(aa,n);
                 n:=;
                 break;
             end;
             if len[i]< then
             begin
                 ans:=ans*f(aa,n);
                 n:=;
                 break;
             end;
             if last[b[i]]<i then break;
             if n>len[i] then
                 begin
                     dec(n,len[i]+);
                     ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;
                 end
             else
                 begin
                     ans:=ans*f(aa,n);
                     n:=;
                 end;
             inc(i);
         end;
     if n= then
     begin
         writeln((ans[,]+ans[,]+ans[,])mod p);
         exit;
     end;
     j:=i;
     sum:=;
     fillchar(s,sizeof(s),);
     s[,]:=;s[,]:=;s[,]:=;
     for i:=last[b[j]] to j- do
         begin
             inc(sum,len[i]+);
             s:=s*f(aa,len[i])*bb;
         end;
     ans:=ans*f(s,n div sum);
     n:=n mod sum;
     i:=last[b[j]];
     while n> do
         begin
             if n>len[i] then
                 begin
                     ans:=ans*f(aa,len[i])*bb;
                     dec(n,len[i]+);
                 end
             else
                 begin
                     ans:=ans*f(aa,n);
                     n:=;
                 end;
             inc(i);
         end;
     writeln((ans[,]+ans[,]+ans[,])mod p);
 end;

 begin
     main;
 end.