DP背包问题小总结

DP的背包问题可谓是最基础的DP了，分为01背包，完全背包，多重背包

• 01背包

装与不装是一个问题

01背包基本模型，背包的总体积为v，总共有n件物体，每件物品的体积为v[i]，价值为w[i]，每件物品只有一个，怎么使背包内尽可能的装更多的物品且价值最大？

模板为一维滚动数组，f[m]表示装m的最大价值和.

可得状态转移方程为

f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])

也就是f[i]为装，那么总体积数相减然后价值增加，或者不装什么都不变。

例题

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1060

可以把总钱数看做体积v，重要度乘以钱数为价值w[i],经过套模板可以直接解答

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[30010];
int v[30010];
int w[30010];
int main()
{
    int m,n,t;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>v[i]>>t,w[i]=v[i]*t;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=v[i];j--)
    f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m];
}

注意的问题就是f必须比总价值开的要大，要不RE，并且两层for内层for是逆序的。

• 完全背包

装与不不装是一个问题，装多少又是一个问题

完全背包基本模型，背包的总体积为v，总共有n件物体，每件物品的体积为v[i]，价值为w[i]，每个物品有无限多个，怎么使背包内尽可能的装更多的物品且价值最大？

与01背包不同的是从物品唯一变成了物品有无限多个

模板还是为一维滚动数组，f[m]表示装m的最大价值和.

可得状态转移方程为

f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])

也就是f[i]为装，那么总体积数相减然后价值增加，或者不装什么都不变。接着去计算装上的最大值。

例题

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1616

可以把总时间看做体积v，药品价值看做w[i]，因为药品无限，所以套用完全背包模板

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100010];
int w[100010];
int v[100010];
int main()
{
    int m,n,ans=-1;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=v[i];j<=m;j++)
    f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m];
}

注意这里是正序的！！！

• 多重背包

现在装与不装，装多少都不是问题了，问题是装的东西还有数量上限？？？

多重背包基本模型，背包的总体积为v，总共有n件物体，每件物品的体积为v[i]，价值为w[i]，每个物品有n[i]个，怎么使背包内尽可能的装更多的物品且价值最大？

多重背包可以分解成01背包

模板就是分解成01背包然后再套01背包的模板

例题

/*庆功会

【问题描述】

为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。

【输入格式】

第一行二个数n(n<=500)，m(m<=6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。 接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和购买的数量（买0件到s件均可），其中v<=100，w<=1000，s<=10。

【输出格式】

第一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。

【输入样例】

5 1000

80 20 4

40 50 9

30 50 7

40 30 6

20 20 1

【输出样例】

1040*/

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[6010],v[6010],w[6010],n[6010],n1;
int main()
{
  int n,m;
  cin>>n>>m;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    int vv,ww,nn,t=1;
    cin>>vv>>ww>>nn;
    while(nn>=t)
    {
      v[++n1]=t*vv;
      w[n1]=t*ww;
      nn-=t;
      t*=2;
    }
    v[++n1]=vv*nn;
    w[n1]=ww*nn;
  }
  for(int i=1;i<=n1;i++)
  for(int j=m;j>=v[i];j--)
  f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
  cout<<f[m];
}

注意中间的分组优化