简单的函数——Min_25筛

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就是实现一下Min-25筛 筛积性函数的操作

首先要得到

$G(M,j)=\sum_{t=j}^{cnt} \sum_{e=1}^{p_t^{e+1}<=M} [\phi(p_t^e)*G([M/(p_t^e)],t+1)+\phi(p_t^{(e+1)})]$
​ $+(F(M)-(F(p_{j-1})))$

先要预处理后面的部分，得到$F(M)$和$F(p_{j-1})$

$F(p_{j-1})$可以直接筛素数的时候前缀和计算一下

$F(M)$就要利用第一步的筛法了

发现，除了2之外的质数都是奇数，所以f(p^1)=p xor 1=p-1

对于2要特判

对于G，直接根据式子大力计算即可。

递归处理。由于值还是比较分散的，所以没有记忆化的必要。（而且状态很多，对空间极为不友好）

剪枝：pri[t]的平方大于n就不用继续算了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define int long long
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=5e5+;
const int M=5e5+;
const int mod=1e9+;
int pri[M],tot;
int sum[M];//pre of prime
bool vis[N];
int sqr;
ll f[N],g[N],h[N];
void sieve(int n){
    for(reg i=;i<=n;++i){
        if(!vis[i]){
            vis[i]=;
            pri[++tot]=i;
        }
        for(reg j=;j<=tot;++j){
            if(i*pri[j]>n) break;
            vis[i*pri[j]]=;
            if(i%pri[j]==) break;
        }
    }
    for(reg i=;i<=tot;++i){
        sum[i]=(sum[i-]+pri[i])%mod;
        g[i]=(g[i-]+(pri[i]^))%mod;
    }
}
int id1[N],id2[N];

ll val[N];
ll n;
int S(int x,int j){
    if(x<=||x<pri[j]) return ;
    cout<<" xx "<<x<<" jj "<<j<<endl;
    int d=(x<=sqr)?id1[x]:id2[n/x];
    int ret=(f[d]-g[j-]+mod)%mod;
    for(reg t=j;t<=tot&&pri[t]*pri[t]<=x;++t){
        int now=pri[t];
        for(reg e=;now*pri[t]<=x;now=now*pri[t],++e){
            ret=(ret+(pri[t]^e)*S(x/now,t+)%mod+(pri[t]^(e+))%mod)%mod;
        }
    }
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    if(n==){
        puts("");return ;
    }
    sqr=sqrt(n);
//    cout<<" sqr "<<sqr<<endl;
    sieve(sqr);
//    cout<<" after sieve "<<endl;
    int m=;
    for(ll i=,x;i<=n;i=x+){
        x=n/(n/i);
        val[++m]=n/i;
        if(val[m]<=sqr) id1[val[m]]=m;
        else id2[n/val[m]]=m;
    }
    for(reg i=;i<=m;++i){
        f[i]=val[i]-;h[i]=(((ll)val[i]%mod*(val[i]%mod+))/-+mod)%mod;
    }
    for(reg j=;j<=tot;++j){
        for(reg i=;i<=m&&(ll)pri[j]*pri[j]<=val[i];++i){
            int to=(val[i]/pri[j])<=sqr?id1[val[i]/pri[j]]:id2[n/(val[i]/pri[j])];
            f[i]=(f[i]-(f[to]-(j-))+mod+mod)%mod;
            h[i]=(h[i]-pri[j]*(h[to]-sum[j-]+mod)%mod+mod)%mod;
        }
    }
    for(reg i=;i<=m;++i){
        if(val[i]>=) f[i]=(h[i]-f[i]++mod)%mod;
        else f[i]=;
    }
    //cout<<" after prewrk "<<endl;
    printf("%lld",(S(n,)+)%mod);
    return ;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return ;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/1/13 17:03:03
*/