「POJ3696」The Luckiest number【数论，欧拉函数】

# 题解

一道数论欧拉函数和欧拉定理的入门好题。
虽然我提交的时候POJ炸掉了，但是在hdu里面A掉了，应该是一样的吧。
首先我们需要求的这个数一定可以表示成\(\frac{(10^x-1)}{9}\times 8\)。
那么可以列出一个下面的方程
\[\frac{(10^x-1)}{9}\times 8=L\times k\]

设\(d=gcd(9L,8)=gcd(L,8)\)

\[\frac89(10^x-1)=Lk\]

\[\frac{8(10^x-1)}d=\frac{9Lk}{d}\]

令\(p=\frac8d,q=\frac{9L}d\)，易证\(p\)和\(q\)互质。

\[p(10^x-1)=qk\]

可得\(q|10^x-1\)，所以得到了\(10^x\equiv1(mod \ q)\)

根据欧拉定理，当\(10\)和\(q\)互质，必定有一组解，是\(\varphi(q)\)

那么最小的一组解一定是\(\varphi(q)\)的一个约数。

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那么欧拉函数计算一下，然后枚举一下约数，快速幂判断一下就好了。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define db double
using namespace std;
ll L, ans;
bool fg;
ll gcd(ll x, ll y) { return y == 0 ? x : gcd(y, x % y) ; }
ll mulmod(ll x, ll y, ll mod) {
    ll res = 0ll;
    for (; y; y >>= 1) { if (y & 1) res = (res + x) % mod; x = (x << 1) % mod; }
    return res;
}
ll power(ll x, ll y, ll mod) {
    ll res = 1ll;
    for (; y; y >>= 1) { if (y & 1) res = mulmod(res, x, mod); x = mulmod(x, x, mod); }
    return res;
}
ll euler(ll x) {
    ll res = x;
    for (ll i = 2; i * i <= x; i ++) {
        if (x % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}
int main() {
    int cas = 0;
    while (~scanf("%I64d", &L) && L) {
        ll d = gcd(L, 8), q = 9 * L / d; fg = 0;
        if (gcd(q, 10) != 1) printf("Case %d: 0\n", ++ cas);
        else {
            ll phi = euler(q), m = sqrt((db)(phi));
            ans = phi;
            for (int i = 1; i <= m; i ++)
                if (phi % i == 0 && power(10, i, q) == 1) { ans = i; fg = 1; break; }
            if (!fg) for (int i = m; i >= 2; i --) {
                if (phi % i == 0 && power(10, phi / i, q) == 1) { ans = phi / i; break; }
            }
            printf("Case %d: %I64d\n", ++ cas, ans);
        }
    }
    return 0;
}