2025dsfz-KMP学习笔记

KMP

前言：这把高端局

关于KMP

• 时间复杂度为 \(O(n+m)\) 的优秀字符串查找算法。
• 适用于在句子/文章中查找一段文字（词语）。

KMP实现

关于共同前后缀数组（PMT）

• 说人话就是 \(next\) 数组。

• 是什么？

  • \(next_i\) 表示下标从 \(1\) 到 \(i\) 的子串（后文中叫做 \(Orgin\) 串）中既是 \(Orgin\) 的前缀串又是 \(Orgin\) 的后缀串的字符串的最长长度。
  • 举例说明：开始时候的串为：abcab
    • 那 \(next_5=2\) ，因为存在串 \(ab\) 既是 \(Orgin\) 的前缀又是 \(Orgin\) 的后缀，而且在所有满足条件的串中，它是最长的。所以把 \(next_5\) 设为它的长度—— \(2\).

• 构建 \(PMT\) 的详细步骤

  • 初始化：设模式串为 \(P\)，长度为 \(m\)，创建一个长度为 \(m\) 的数组 \(pmt\) 来存储部分匹配表(相当于 \(next\) 数组)的值。初始化 \(pmt[0] = 0\)，因为模式串的第一个字符的前缀子串只有一个字符，不存在相等的前后缀。
  • 遍历模式串：从模式串的第二个字符开始遍历，即 \(i = 1\) 到 \(i = m - 1\)。对于每个位置 \(i\)，设两个指针，一个指针 j 指向当前前缀子串的最长相等前后缀的下一个位置，初始时 \(j = pmt[i - 1]\)。
    
    -比较字符：比较 \(P[i]\) 和 \(P[j]\)。如果 \(P[i]\) 等于 \(P[j]\)，说明找到了更长的相等前后缀，此时 \(pmt[i] = j + 1\)，然后将 \(j\) 后移一位，即 \(j = j + 1\)，继续下一个位置的比较。
  • 不相等情况：如果 \(P[i]\) 不等于 \(P[j]\)，且 \(j > 0\)，则将 \(j\) 更新为 \(pmt[j - 1]\)，继续比较 \(P[i]\) 和 \(P[j]\)。这是因为当 \(P[i]\) 和 \(P[j]\) 不相等时，需要回溯到 \(j\) 位置之前的最长相等前后缀的下一个位置，继续进行比较。
  • 最终结果：当遍历完整个模式串后，\(pmt(next)\) 数组中存储的就是模式串的部分匹配表。

• 示例

  • 以模式串 “ababaca” 为例：
  • 首先初始化 \(pmt[0] = 0\)。
    • 对于 \(i = 1\)，即字符 “b”，其前缀子串 “a” 不存在相等前后缀，所以 \(pmt[1] = 0\)。
    • 对于 \(i = 2\)，字符 “a”，前缀子串 “ab” 也不存在相等前后缀，\(pmt[2] = 0\)。
    • 对于 \(i = 3\)，字符 “b”，此时前缀子串 “aba”，发现前缀 “a” 和后缀 “a” 相等，所以 \(pmt[3] = 1\)。
    • 对于 \(i = 4\)，字符 “a”，前缀子串 “abab”，最长相等前后缀为 “ab”，所以 \(pmt[4] = 2\)。
    • 对于 \(i = 5\)，字符 “c”，先看 \(j = pmt[4] = 2\)，比较 “c” 和 “b” 不相等，再将 \(j\) 更新为 \(pmt[2 - 1] = 0\)，此时 “c” 和 “a” 也不相等，所以 \(pmt[5] = 0\)。
    • 对于 \(i = 6\)，字符 “a”，先看 \(j = pmt[5] = 0\)，比较 “a” 和 “a” 相等，所以 \(pmt[6] = 1\)。
    • 最终得到的 PMT 数组为 [0, 0, 0, 1, 2, 0, 1]。

• \(next\) 数组生成代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 1e9+7;
const int P = 131;

int nxt[N];
int n,m,j = 0,i = 2;//Notice: i从2开始长度为0和1的串共同前后缀为零
char s[N];
int main() {
	cin>>n>>s+1;
	while(i <= n){
		while(s[j+1] != s[i] and j != 0) j = nxt[j];
		if(s[i] == s[j+1]) j++;
		nxt[i] = j;
		i++;
	}
	for(int i = 1;i <= strlen(s+1);i++){
		cout<<nxt[i]<<endl;
	}
	return 0;
}

查找

• 如果当前字符匹配，那就继续进行，否则就把首个模式串的位置设置为当前位置的 \(next\) 数组对应的值的下标。(咕咕咕)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 1e9+7;
const int P = 131;

char p[N], s[N]; //p=Pattern
int nxt[N];
int n, m;
/*
abacdaba
00100123

*/
int main() {
	scanf("%d%s%d%s", &n, p + 1, &m, s + 1);
	for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
		while (j and p[i] != p[j + 1]) j = nxt[j];
		if (p[i] == p[j + 1]) j++;
		nxt[i] = j;
	}
	for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
		while (j != 0 and s[i] != p[j + 1]) {//不匹配就根据next移动
			j = nxt[j];
		}
		if (s[i] == p[j + 1]) j++;
		if (j == n) {
			printf("%d ", i - n + 1);
			j = nxt[j];
		}
	}
	return 0;
}

问题 A: 【一本通提高篇KMP】剪花布条 P3375 【模板】KMP

解法

• 就是板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 1e9+7;
const int P = 131;

char p[N], s[N]; //p=Pattern
int nxt[N];
int n, m;
/*
abacdaba
00100123

*/
int main() {
	while (1) {
		scanf("%s",  s + 1);
		if (s[1] == '#') return 0;
		scanf("%s",p+1);
		int ans = 0;
		n = strlen(p + 1);
		m = strlen(s + 1);
		for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
			while (j and p[i] != p[j + 1]) j = nxt[j];
			if (p[i] == p[j + 1]) j++;
			nxt[i] = j;
		}
		for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
			while (j != 0 and s[i] != p[j + 1]) {//不匹配就根据next移动
				j = nxt[j];
			}
			if (s[i] == p[j + 1]) j++;
			if (j == n) {
				ans++;
				j = 0;//注意这里j为０，而KMP算法中这里是j=F[j-1]+1，因为一块花纹不能重复出现在多条小饰条上
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

P4391 [BalticOI 2009]【一本通提高篇KMP】Radio Transmission(BZOJ1355)

解法

就是利用next数组的离奇关系来解决.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010000, MOD = 1e9+7;
const int P = 131;

char p[N], s[N]; //p=Pattern
int nxt[N];
int n, m;
/*
abacdaba
00100123

*/
int main() {

	scanf("%d%s", &n, p + 1);
	for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
		while (j and p[i] != p[j + 1]) j = nxt[j];
		if (p[i] == p[j + 1]) j++;
		nxt[i] = j;
	}
	printf("%d\n", n-nxt[n]);

	return 0;
}