The Karplus-Strong Algorithm

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Karplus-Strong Algorithm[1，2] ，由Alex Strong和Kevin Karplus提出并对其实现进行了分析，两人共同研制了应用该算法的软件和硬件。是一种用于数字音乐合成的算法，具有实现成本低，易于控制，合成音好听入耳等特点。

1 Wavetable Synthesis Algorithm

在讲解Karplus-Strong Algorithm前，首先插入讲解一下波表合成算法（Wavetable Synthesis Algorithm），它是一种标准的合成技术，它将一段采样信号一遍遍重复，从而产生一组纯粹的周期信号，我们定义Yt是第t个采样信号值，则波表合成算法的数学表达式可写为：

Yt=Yt−p,(1)

其中，参数p被称为波表长度（Wavetable length ）或者周期性参数（Periodicity parameter）。信号循环的初始条件完全决定了最终的音色。通常来说，输入的简单波形信号，例如sine wave，triangle wave，square wave等，当输入采样频率是fs时，音调的频率为fs/p。

波表合成算法非常简单，但是因为产生的是完全周期性的音调，而略显无聊。传统的乐器产生的声音是随着时间变化而变化的，人们所想要的就是这样一个较为符合现实情况的函数模型，波表合成算法之后，相继有FM synthesis，additive synthesis，subtractive synthesis， waveshaping等算法提出，这些全都是基于波表合成算法进行进一步的修整处理。

为此，究竟什么样的修整对于波表合成算法是真正有效的呢？如果没有修整，那么必然导致产生的音乐是单纯周期性的，和弦部分也是固定不变的。同时，为了产生近似周期的输出，从一个阶段到另一个阶段对于信号的修正变化必须较小。（考虑到计算机的计算水平和内存大小限制，当时对于算法的计算量和内存占用也进行了要求，现在这些限制早已不是问题。）

2 Karplus-Strong Algorithm

基于上面的知识，我们再来看Karplus-Strong Algorithm算法，这是一种简单的修整方法，原论文中针对拨弦（Plucked-String）和击鼓（Drum）进行了算法描述。Fig 1是该算法的简单示意图，从中可以看出，这种修整方法就是对连续的两个采样信号进行求平均。

对于拨弦算法（Plucked-String Algorithm, invented by Alex Strong in 1978）：

Yt=12(Yt−p+Yt−p−1),(2)

实验显示这种平均处理，能够基于原波形产生缓慢的衰减，并且倾向于具有 p+1/2的采样周期和fs/(p+1/2)的采样频率，算法非常简单高效。为了产生一个现实的声音，需要初始时输入较多高的谐波，通常的在每一新的小节开始部分被填入随机数值，由于重复的在波表中采样，这种随意数值并不会产生嘘声和噪声。这种利用随机数初始化，具有最明显的优势就是：每个重复的片段中和弦波形结构都会具有细微的差异，从而听起来就像来自于同一乐器，但却不是简单机械的重复。

在没有衰减的情况下，按照上述方法产生的随机波表本质上等价于具有Nyquist频率（Nyquist frequency）的谐波，听起来就像簧风琴（Reed Organ）。而具有衰减时，较高的谐波会很快衰减，产生跟吉他拨弦声（ plucked-string sound）很像的声音。

对于击鼓算法（Drum Algorithm, discovered by Kevin Karplus in 1979）:

Yt={+12(Yt−p+Yt−p−1);−12(Yt−p+Yt−p−1);probability bprobability 1−b,(3)

其中，b被称为融合因子（blend factor），不难发现，当b=1时，算法就简化为了Plucked-String Algorithm。其它就不在做过多介绍。

3 Karplus–Strong String Synthesis

让我们来看看，Karplus–Strong Algorithm是如何合成声音的，如Fig 2所示。

1 激励波形产生（Noise burst）：即产生一段长度为L的样波，在原始的算法中，使用强烈白噪声（White noise），例如捶打音（hammered），拨弦音（plucked-string）以及其他形式的敲打音（percussion），其中除了杂乱的窄频带信号（narrowband signal）外，还含有一些宽频带信号（wideband signal），例如快速变化的正弦波、扫描波、锯齿波和方形波等；
2 延迟（Delay）：将输入信号反馈为具有延时长度L的样波；
3 滤波（Filter）：在原算法中，使用的是相邻的采样信号求均值法，此处为了维持稳定的正反馈循环（Positive feedback），并且使各个频率的信号增益（Gain）不超过1，因此采用了一阶低通滤波（low-pass filter）；
4 递归（Recursion）：滤波后输出的数据，同时被混合到输出结果中，并继续进行延迟和滤波。

参考文献：

Kevin Karplus, Alex Strong, “Digital Synthesis of Plucked String and Drum Timbres”, Computer Music Journal (MIT Press) 7(2), 1983.
David A. Jaffe, Julius O. Smith, “Extensions of the Karplus-Strong Plucked-String Algorithm”, Computer Music Journal (MIT Press), 7(2), 1983.
https://ccrma.stanford.edu/~jos/pasp/Karplus_Strong_Algorithm.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Karplus%E2%80%93Strong_string_synthesis
http://crypto.stanford.edu/~blynn/sound/karplusstrong.html