题目简述:给定$n \leq 3 \times 10^5$个节点的树,其中一部分节点被染色,一共有$k$种不同的颜色。求将树划分成 $k$ 个不相交的部分的方案数,使得每个部分中除了未染色的节点以外的所有节点颜色相同,答案模$998244353$(质数)。

解:code

Step 1. 缩点

相关题目:CodeForces 76F. Tourist

观察:为使相同颜色的节点处在同一个子树中,则包含这些节点的最小子树的所有节点必然会被划分在同一部分。

因此,在随意选择一个节点作为树的根节点后,每种颜色的所有节点的LCA(最近公共祖先)必然也与这些节点在同一部分。

同时,我们也得到了无解判定:如果某两种颜色的节点的最小子树具有相同部分,则必定无解。

在判断有解之后,我们可以把每种颜色对应的最小子树缩成一个节点,则问题就转化为:

【一个$n \leq 3\times 10^5$个节点的树,其中有$k$个节点是被标记的,问有多少种方法把树分成$k$部分,每部分包含恰好一个被标记的节点。】

Step 2. 动态规划

我们在缩点之后,只需要解决转化后的问题。

设$f[x][s]$表示以$x$为根的子树有多少种划分方式,使得$x$所在的部分 【未包含$s=0$ / 包含$s=1$】 一个被标记的节点。于是答案为$f[r][1]$,其中$r$是根节点。

1. 若$x$未被标记,则

1.1. 若$x$所在部分未包含被标记的节点,则对每个$x$的儿子节点$y$,若$y$所在部分包含了被标记的节点,则必然不与$x$在同一部分;若$y$所在部分未包含被标记节点,则必然与$x$在同一部分,因此有$f[y][0]+f[y][1]$种可能。由乘法原理,有

$$ f[x][0] = \prod_{y \in \text{son}(x)} (f[y][0]+f[y][1]). $$

1.2. 若$x$所在部分包含被标记的节点,则枚举$x$的儿子节点$y$,其所在部分包含被标记节点,有$f[y][1]$种可能;对其他儿子节点$z \neq y$,若$z$所在部分包含了被标记的节点,则必然不与$x$在同一部分;若$z$所在部分未包含被标记节点,则必然与$x$在同一部分,因此有$f[z][0]+f[z][1]$种可能。由乘法原理和加法原理,有

$$ f[x][1] = \sum_{y \in \text{son}(x)} f[y][1] \prod_{y \neq z \in \text{son}(x)} (f[z][0]+f[z][1]). $$

2. 若$x$被标记,则

2.1. $x$所在部分不可能未包含被标记节点,即

$$ f[x][0] = 0, $$

2.2. 若$x$所在部分包含被标记的节点,则对每个$x$的儿子节点$y$,若$y$所在部分包含了被标记的节点,则必然不与$x$在同一部分;若$y$所在部分未包含被标记节点,则必然与$x$在同一部分,因此有$f[y][0]+f[y][1]$种可能。(这与1.1.的讨论相同)由乘法原理,有

$$ f[x][1] = \prod_{y \in \text{son}(x)} (f[y][0]+f[y][1]). $$

总时间复杂度为$O(n)$。

CodeForces 1118F2. Tree Cutting (Hard Version)的更多相关文章

  1. Codeforces 1118F1 Tree Cutting (Easy Version) (简单树形DP)

    <题目链接> 题目大意: 给定一棵树,树上的点有0,1,2三中情况,0代表该点无色.现在需要你将这棵树割掉一些边,使得割掉每条边分割成的两部分均最多只含有一种颜色的点,即分割后的两部分不能 ...

  2. Codeforces Round #540 (Div. 3) F1. Tree Cutting (Easy Version) 【DFS】

    任意门:http://codeforces.com/contest/1118/problem/F1 F1. Tree Cutting (Easy Version) time limit per tes ...

  3. Tree Cutting (Hard Version) CodeForces - 1118F2 (树形DP,计数)

    大意:给定树, 每个点有颜色, 一个合法的边集要满足删除这些边后, 每个连通块内颜色仅有一种, 求所有合法边集的个数 $f[x][0/1]$表示子树$x$中是否还有与$x$连通的颜色 对于每种颜色已经 ...

  4. Codeforces Round #540 (Div. 3)--1118F1 - Tree Cutting (Easy Version)

    https://codeforces.com/contest/1118/problem/F1 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; in ...

  5. Codeforces 1118 F2. Tree Cutting (Hard Version) 优先队列+树形dp

    题目要求将树分为k个部分,并且每种颜色恰好在同一个部分内,问有多少种方案. 第一步显然我们需要知道哪些点一定是要在一个部分内的,也就是说要求每一个最小的将所有颜色i的点连通的子树. 这一步我们可以将所 ...

  6. 解题:CF1118F2 Tree Cutting (Hard Version)

    题面 好题不问Div(这是Div3最后一题,不得不说Mike真是强=.=) 首先同一个颜色的点的LCA要和它们在一个划分出的块里,那么我们先按颜色把所有点到它们的LCA的路径涂色,如果这个过程中出现了 ...

  7. 【HDU 5909】 Tree Cutting (树形依赖型DP+点分治)

    Tree Cutting Problem Description Byteasar has a tree T with n vertices conveniently labeled with 1,2 ...

  8. BZOJ3391: [Usaco2004 Dec]Tree Cutting网络破坏

    3391: [Usaco2004 Dec]Tree Cutting网络破坏 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 47  Solved: 37[ ...

  9. BZOJ 3391: [Usaco2004 Dec]Tree Cutting网络破坏( dfs )

    因为是棵树 , 所以直接 dfs 就好了... ---------------------------------------------------------------------------- ...

随机推荐

  1. ASP.NET动态网站制作(4)--css(3)

    前言:这节课主要运用前面所学的知识写三个例子,并且学习浏览器兼容性的解决方法. 内容: 例子1:一个关于列表的例子 html代码: <!DOCTYPE html PUBLIC "-// ...

  2. intellij idea同一个窗口打开多个项目

    1 将多个maven项目放在同一个目录 2 file --> open该目录 intellij 将会加载该目录下所有的项目. 3 依赖加载 maven projects--->" ...

  3. restlet验证

    1 restlet有无认证对比 无认证: 客户端发起请求 -----> 服务器路由 -----> 访问服务端资源 有认证: 客户端发起请求 -----> 认证 ----->服务 ...

  4. mysql系列之7.mysql读写分离

    准备 下载如下linux安装包 jdk-6u31-linux-x64-rpm.bin amoeba-mysql-binary-2.2.0.tar.gz # crontab -e  //同步时间 */ ...

  5. opencv使用记录

    /*2017-1-14*/ /*视频的读取...*/ int g_n=0; void on_change(int pos,void *)//看来void*不能省! { printf("g_n ...

  6. 【题解】P2279消防局的设立

    [题解][P2279 HNOI2003]消防局的设立 又是一道贪心. 随便指定一个点为根,可以知道在覆盖了一个节点的子树的情况下,消防站越高越好.那么我们就贪心吧.\(trick\)是按深度\(pus ...

  7. Gin Web框架简单介绍

    翻译自: https://github.com/gin-gonic/gin/blob/develop/README.md Gin Web框架 branch=master"> Gin是用 ...

  8. MongoDB入门学习(三):MongoDB的增删查改

            对于我们这样的菜鸟来说,最重要的不是数据库的管理,也不是数据库的性能,更不是数据库的扩展,而是怎么用好这款数据库,也就是一个数据库提供的最核心的功能,增删查改.         由于M ...

  9. ubuntu 14.04 用 shell 方便安装nginx

    nginx.sh apt-get install -y build-essential gcc g++ make m4 libpcre3 libpcre3-dev libcurl4-gnutls-de ...

  10. 20145239杜文超 《Java程序设计》第1周学习总结

    20145239<Java程序设计>第1周学习总结 教材学习内容总结 第一周. 通过教材简单的了解了java的历史.因为之前看过视频,所以有一个大致明了的认识. 识记了Java三大平台:J ...