【题解】ball 数论

题目

题目描述：

众所周知的是Dr.Bai 穷困潦倒负债累累，最近还因邦邦的出现被班上的男孩子们几乎
打入冷宫，所以Dr.Bai 决定去打工赚钱。

Dr.Bai 决定做玩♂球的工作，工作内容如下。

老板提供一根圆筒，里面随意的放着n 个球
仅有粉红色和蓝色。

因为老板喜欢粉红色，于是他要求Dr.Bai进行操作使得筒内只有粉红色球，而操作也有规定，将一下三个步骤算作一次操作：

1. 将顶端的粉色球弹出，直到是蓝色球。

2. 然后把第一个蓝色球变成可爱的粉红色。

3. 向筒里面扔蓝色球，直到球的数量又是优美的n。

然而斤斤计较精打细算的Dr.Bai 想要知道他最少多少次操作使得任务完成，这样的话
Dr.Bai 就能去摸鱼了

可是Dr.Bai 心里只有更高更妙的物理，所以Dr.Bai 请你来帮他计算次数。

输入格式

输入为两行，第一行为一个正整数n（代表球的数量）

第二行为长为n 仅由B 和P 组成的字符串。

输出格式

输出仅一行，为一个正整数m（代表最少使得筒内仅有粉红色球的操作数）

样例

输入

4
PBBP

输出

6

数据范围

对于20%的数据：1<=N<=10

对于30%的数据：1<=N<=20

对于100%的数据：1<=N<63

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思路

部分分

很明显的就是纯模拟，也比较好打，时间复杂度是 O（2n）

正解

将状态二进制化后……我们就能找规律了。

• 其实好像叫做模拟计数问题，但是我觉得就是找规律
  在自栈顶向下的第 k 个位置上的蓝球变为粉球的代价是 2k-1次。
  对于整体的栈，我们进行单独思考，对仅有第一个球为 P 时操作数为 1,那么仅有第 N
  个球为 B 时，前面的 P 球被弹出，第 N 个球变为 P，又填入了 N-1 个 B 球。

• 接下来的问题就是将前面的 N-1 个 B 球转化掉。
  于是从栈底往栈顶推，保证栈底开始向上连续个球全部变为 P，之后就不需要再对这
  连续个 P 球操作，问题就变为子问题。

• 然后对于第 N 个为 B 的球的操作数，等于前面 N-1 个球转化的操作数之和加上自己
  为 1 的操作数，可以推出 1,2(1+1)，4(1+2+1)，8(1+2+4+1)……
  所以知道了对于任意一种只有一个 B 球的情况的操作数

• 接下来需要证明彼此间不能互相影响（注意点 1），于是答案就是里面所有为 B 的球
  的操作数之和。

• 那么程序上的实现就是很简单的二进制转十进制了。

要注意两个点。

1.意识到蓝球不会对彼此产生影响，因为可见使得蓝球变为粉球，仅有操作中的第
二步，那么当一个蓝球 可以发生改变的时候，他之前的蓝球定然已经全部转化成
粉球了，同理它的转化也不会影响到之后的蓝球的转化，因此才能确定最后答案
是各个蓝球的代价数之和，即转化为二进制后直接转为十进制作为答案。

2.这是个栈！所以要注意加入的顺序，最后转化的二进制串是和输入反过来的

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代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
char s[70],a[70]={0};
int n;
int main(){
    freopen("ball.in","r",stdin);
    freopen("ball.out","w",stdout);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s);
    for(register int i=0;i<n;++i) if(s[i]=='B') a[i]++;
    long long ans=0;
    for(register int i=0;i<=n;++i) {
        if(a[i])
        ans+=pow(2,i);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

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