将这张图化简,不断删掉度为1的点(类似于拓扑排序),构成了一张由环组成的图
考虑一个连通块中,设点数为n,边数为m(已经删掉了度为1的点),那么一共只有三种情况:
1.一个环($n=m$),一定为YES
2.多个环嵌套($n+1<m$),一定为NO
3.两个环($n+1=m$),其实可以看成有两个点(可以重合),然后这两个点中间有三条路径,记长度分别为l1,l2,l3,那么有结论:当且仅当三条边依次为2,2和偶数时成立
证明:
首先三条边必然要同奇偶,否则存在奇环,对于奇环上的点都选择集合${AB}$即可卡掉
然后如果三条边都是奇数,由于原图不存在重边,因此最多只有一条路径上没有点,不妨设$l1,l2>1$,可以用l3来构造两点不同,l1来构造不能选AB,l2来构造不能选BA
那么三条边都是偶数,如果其中只有1条边小于等于2,那么$l1,l2\ge 4$,同理可以用l3来构造两点相同,l1来卡掉都选A,l2来卡掉都选B
当有两条路径长度小于等于2(由于没有重边,所以一定都恰好为2),很容易发现无法卡掉

 1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 10005
4 queue<int>q;
5 vector<int>v[N];
6 int t,n,m,x,y,a[N],r[N],vis[N];
7 void dfs(int k,int fa){
8 if (vis[k])return;
9 vis[k]=1;
10 if (r[k]>2)a[++a[0]]=k;
11 x++;
12 for(int i=0;i<v[k].size();i++)
13 if ((r[v[k][i]]>1)&&(v[k][i]!=fa)){
14 if ((fa)||(!vis[v[k][i]]))y++;
15 dfs(v[k][i],k);
16 }
17 }
18 void calc(int k,int fa,int x,int s){
19 if (k==x){
20 a[++a[0]]=s;
21 return;
22 }
23 for(int i=0;i<v[k].size();i++)
24 if ((r[v[k][i]]>1)&&(v[k][i]!=fa))calc(v[k][i],k,x,s+1);
25 }
26 int main(){
27 scanf("%d",&t);
28 while (t--){
29 scanf("%d%d",&n,&m);
30 memset(r,0,sizeof(r));
31 memset(vis,0,sizeof(vis));
32 for(int i=1;i<=n;i++)v[i].clear();
33 for(int i=1;i<=m;i++){
34 scanf("%d%d",&x,&y);
35 r[x]++;
36 r[y]++;
37 v[x].push_back(y);
38 v[y].push_back(x);
39 }
40 for(int i=1;i<=n;i++){
41 if (!r[i])vis[i]=1;
42 if (r[i]==1)q.push(i);
43 }
44 while (!q.empty()){
45 int k=q.front();
46 q.pop();
47 vis[k]=1;
48 for(int i=0;i<v[k].size();i++)
49 if (--r[v[k][i]]==1)q.push(v[k][i]);
50 }
51 bool flag=0;
52 for(int i=1;i<=n;i++){
53 x=y=a[0]=0;
54 dfs(i,0);
55 if ((x==y)&&(x%2==0))continue;
56 if ((a[0]<2)||(x+1<y)||(x==y)&&(x&1)){
57 flag=1;
58 break;
59 }
60 x=a[1];
61 y=a[2];
62 a[0]=0;
63 calc(x,0,y,0);
64 sort(a+1,a+a[0]+1);
65 if ((a[1]&1)||(a[2]&1)||(a[3]&1)||(a[2]>2)){
66 flag=1;
67 break;
68 }
69 }
70 if (flag)printf("NO\n");
71 else printf("YES\n");
72 }
73 }

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