[loj2850]无进位加法

（似乎漏了一个数据范围，cf上的题面中还有$\sum L\le 3\cdot 10^{5}$）

考虑$a_{i}=2^{k_{i}}$时（不妨$k_{1}\ge k_{2}\ge ...\ge k_{n}$），记$\sum_{i=1}^{n}b_{i}$的最高位为$L_{b}$，则有$L_{b}=\max_{i=1}^{n}(k_{i}+i-1)$

证明：大于等于$2^{k_{i}}$的$b_{i}$至少要$i$个，因此该值即为下限；取$b_{i}=2^{L_{b}-i+1}\ge 2^{k_{i}}$，因此一定可行

利用上面的这个结论，我们开始考虑正解

如果令$k_{i}$表示$a_{i}$最高的二进制位，那么$2^{k_{i}}\le a_{i}<2^{k_{i}+1}$，取$a'_{i}=2^{k_{i}+1}$，设此时$\sum_{i=1}^{n}b_{i}$的最高为$L_{b}+1$，$a_{i}$减小$b_{i}$不增，因此答案中$\sum_{i=1}^{n}b_{i}$的最高位不超过$L_{b}+1$

令$t=\min_{k_{i}+i=L_{b}}i$，考虑答案（$\sum_{i=1}^{n}b_{i}$）的第$[k_{t},L_{b}+1]$位（共$t+1$位），必然存在$t$位为1（每一个1最多消除一个$a_{i}$，而存在$t$个$a_{i}$最高位大于等于$k_{t}$）

又因为$\forall 1\le i<t,k_{i}+i-1<L_{b}$，即通过这$t$位1中最高的$t-1$位（即使是$L_{b}-i+1$）一定可以，同时也必然会删除$a_{1},a_{2},...,a_{t-1}$

由于$[k_{t},L_{b}+1]$中第$t$个1（从高到低）必然是$k_{t}+1$位或第$k_{t}$位（也有可能都选），判定当第$k_{t}+1$位为0时能否删除$a_{t},a_{t+1},...,a_{n}$，对结果分类讨论：

1.若可以，即最低位可以为$k_{t}$，必然贪心选择令第$[k_{t},L_{b}]$位为1并剩下$a_{t}-2^{k_{t}}$

2.若不可以，则第$[k_{t}+1,L_{b}+1]$位都必须填1，之后将$a_{1},a_{2},..,a_{t}$都删除即可

考虑如何判定，可以再次调用本过程（递归），即在判定过程中顺便求出最小解（若有解，否则返回无解），因此对于第1种情况直接就可以退出，第2种仍要递归下去

时间复杂度很玄学，递归次数大概是$o(L)$的

对于每一次内部，用线段树来维护区间最大值，具体方法如下：

1.对于$i$可以通过插入/删除一个数时，对之后的位置+1或-1来实现

2.对于每一个$a_{i}$，剩余的一定是二进制下的一个后缀，那么将所有数每一个后缀（其实也只需要那一位上有1，否则跟上一个后缀相同）放在一起基数排序，至多为$o(\sum L)$个数

3.对于每一个$a_{i}$，要维护下一个1的位置（预处理）；对于线段树上，维护区间最大值，以及查询第一个最大值并将小于等于其的位置暴力插入，支持单点插入或删除

这样的复杂度再多一个log，总复杂度即为$o((\sum L)\log \sum L)$

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 300005
  4 #define oo 0x3f3f3f3f
  5 #define L (k<<1)
  6 #define R (L+1)
  7 #define mid (l+r>>1)
  8 vector<int>v[N];
  9 int n,m,la,rk[N],bit[N],nex[N],top[N],ans[N],f[N<<2],tag[N<<2];
 10 char s[N];
 11 bool cmp(int x,int y){
 12     return rk[x]>rk[y];
 13 }
 14 void upd(int k,int x){
 15     tag[k]+=x;
 16     f[k]+=x;
 17 }
 18 void down(int k){
 19     upd(L,tag[k]);
 20     upd(R,tag[k]);
 21     tag[k]=0;
 22 }
 23 void build(int k,int l,int r){
 24     if (l==r){
 25         f[k]=bit[l]-oo;
 26         return;
 27     }
 28     build(L,l,mid);
 29     build(R,mid+1,r);
 30     f[k]=max(f[L],f[R]);
 31 }
 32 void update(int k,int l,int r,int x,int y,int z){
 33     if ((l>y)||(x>r))return;
 34     if ((x<=l)&&(r<=y)){
 35         upd(k,z);
 36         return;
 37     }
 38     down(k);
 39     update(L,l,mid,x,y,z);
 40     update(R,mid+1,r,x,y,z);
 41     f[k]=max(f[L],f[R]);
 42 }
 43 void query(int k,int l,int r,int x,vector<int>&v){
 44     if (f[k]<0)return;
 45     if (l==r){
 46         v.push_back(l);
 47         return;
 48     }
 49     down(k);
 50     query(L,l,mid,x,v);
 51     if (f[L]!=x)query(R,mid+1,r,x,v);
 52 }
 53 void add(int k){
 54     update(1,1,m,k,k,oo);
 55     if (k<m)update(1,1,m,k+1,m,1);
 56 }
 57 void del(int k){
 58     update(1,1,m,k,k,-oo);
 59     if (k<m)update(1,1,m,k+1,m,-1);
 60 }
 61 bool dfs(int mx){
 62     int lb=f[1];
 63     if (lb<0)return 1;
 64     if (lb>mx)return 0;
 65     vector<int>v;
 66     query(1,1,m,lb,v);
 67     for(int i=0;i<v.size();i++)del(v[i]);
 68     int t=v.back();
 69     if (nex[t])add(nex[t]);
 70     if (dfs(bit[t]-1)){
 71         for(int i=bit[t];i<=lb;i++)ans[i]=1;
 72         return 1;
 73     }
 74     if (nex[t])del(nex[t]);
 75     if ((lb+1<=mx)&&(dfs(bit[t]))){
 76         for(int i=bit[t];i<=lb;i++)ans[i+1]=1;
 77         return 1;
 78     }
 79     for(int i=0;i<v.size();i++)add(v[i]);
 80     return 0;
 81 }
 82 int main(){
 83     scanf("%d",&n);
 84     for(int i=1;i<=n;i++){
 85         scanf("%s",s);
 86         int l=strlen(s);
 87         la=max(la,l);
 88         for(int j=0;j<l;j++)
 89             if (s[j]=='1'){
 90                 m++;
 91                 v[l-j-1].push_back(i);
 92             }
 93     }
 94     for(int i=1;i<=n;i++)rk[i]=m+1;
 95     int mm=m;
 96     for(int i=0;i<la;i++){
 97         sort(v[i].begin(),v[i].end(),cmp);
 98         for(int j=0;j<v[i].size();j++){
 99             bit[mm]=i;
100             rk[v[i][j]]=mm;
101             nex[mm]=top[v[i][j]];
102             top[v[i][j]]=mm--;
103         }
104     }
105     build(1,1,m);
106     for(int i=1;i<=n;i++)add(top[i]);
107     dfs(oo);
108     bool flag=0;
109     for(int i=n+la;i>=0;i--)
110         if ((flag)||(ans[i])){
111             flag=1;
112             printf("%d",ans[i]);
113         }
114 }