最小费用最大流——EK+SPFA

终于把最小费用最大流学会了啊……

各种奇奇怪怪的解释我已经看多了，但在某些大佬的指点下，我终于会了。

原来是个好水的东西。

最小费用最大流是什么？

不可能不知道网络流吧？如果不知道，自行百度去……

费用流就是在每条边添加个费用，设你这条边的流量是f" role="presentation">ff，费用为w" role="presentation">ww，则总费用为fw" role="presentation">fwfw。

举个例子，就像是有许多点的一张图，有很多个管子相连，每个管子都有个容量，并且每流一流量就要花一些费用，问总费用最少是多少。

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最小费用最大流怎么做？

首先要知道EK算法……

开玩笑的，其实根本不用，我还没打过普通的EK呢，就只是打过dinic和sap。

这个做法其实很简单：

1、用spfa从原点跑最短路，边权为费用（满流的边不用跑）。

2、将最短路径抽出，在上面找一个残余容量最小的。

3、这一路上的残余容量减少，反向弧的容量增加（反向弧的费用为负的正向的费用）。

4、回到第一步，继续做下去，直到从原点跑不到汇点。

这样就可以算出来了，这就是最普通的EK+spfa做法。

当然还有更好的，但我还不会……

时间复杂度我不知道，毕竟，网络流的时间总是很玄学啊……

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
int n,m,S,T;
struct EDGE
{
    int to,c,w;
    EDGE *las;
} e[100001];
int ne;
EDGE *last[5001];
#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))
int q[1000001];
bool inq[5001];
bool SPFA();
int dis[5001];
EDGE *pre[5001];
void flow(int&,int&);
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for (int i=1;i<=m;++i)
    {
        int u,v,c,w;
        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&c,&w);
        e[ne]={v,c,w,last[u]};
        last[u]=e+ne;
        ++ne;
        e[ne]={u,0,-w,last[v]};
        last[v]=e+ne;
        ++ne;
    }
    int maxflow,mincost;
    flow(maxflow,mincost);
    printf("%d %d\n",maxflow,mincost);
    return 0;
}
bool SPFA()
{
    int h=-1,t=0;
    memset(dis,127,sizeof dis);
    dis[S]=0;
    pre[S]=NULL;
    q[0]=S;
    inq[S]=1;
    do
    {
        ++h;
        for (EDGE *ei=last[q[h]];ei;ei=ei->las)
            if (ei->c && dis[q[h]]+ei->w<dis[ei->to])
            {
                dis[ei->to]=dis[q[h]]+ei->w;
                pre[ei->to]=ei;
                if (!inq[ei->to])
                {
                    inq[ei->to]=1;
                    q[++t]=ei->to;
                }
            }
        inq[q[h]]=0;
    }
    while (h!=t);
    return dis[T]!=0x7f7f7f7f;
}
void flow(int &maxflow,int &mincost)
{
    maxflow=0;
    mincost=0;
    while (SPFA())
    {
        int minc=0x7f7f7f7f;
        for (EDGE *ei=pre[T];ei;ei=pre[rev(ei)->to])
            minc=min(minc,ei->c);
        maxflow+=minc;
        mincost+=dis[T]*minc;
        for (EDGE *ei=pre[T];ei;ei=pre[rev(ei)->to])
        {
            ei->c-=minc;
            rev(ei)->c+=minc;
        }
    }
}

这个代码我没有对过任何的标程，相信各位可以凭借自己的理解打出来，解析就不打了。