洛谷P1809 过河问题 经典贪心问题

• 作者：zifeiy
• 标签：贪心

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1809

我们假设第 \(i\) 个人过河的耗时是 \(t[i]\) ，并且 \(t[i]\) 按照从小到大进行了排序（即： \(t[i] \le t[i+1]\) ）， 并且设状态 \(f[i]\) 表示前 \(i\) 个人过河的最小花费。

此处我们的贪心基于这样一种思想：优先令 \(t[i]\) 大的过河。

那么：

当 \(i = 1\) 时，只有一个人，所以此时 \(f[1] = t[1]\) ；

当 \(i = 2\) 时，只有两个人，所以此时 \(f[2] = t[2]\) ；

当 \(i = 3\) 时，我们可以选择第1个人陪第2个人过去，再回来接第3个人；或者第1个人陪第3个人过去，再回来接第2个人，两种情况下都满足 \(f[3] = t[2] + t[1] + t[3]\) ；

当 \(i \gt 3\) 时，我们要送走第 \(i\) 个人，有两种方式：

• 方式一：第1个人和第i个人过河，第1个人再回来，此时 \(f[i] = f[i-1] + t[i] + t[1]\) ；
• 方式二：第1个人和第2个人过河，第2个人再回来，第i-1个人和第i个人过来，第1个人再回来（或者：第1个人和第2个人过河，第1个人再回来，第i-1个人和第i个人多来，第2个人再回来），此时状态变化到了 \(f[i-2]\) ，此时 \(f[i] = f[i-2] + t[2] + t[2] + t[i] + t[1]\) 。

所以，当 \(i \gt 3\) 时， \(f[i] = \max(f[i-1] + t[i] + t[1] , f[i-2] + t[2] + t[2] + t[i] + t[1])\) 。

其实我们可以发现，对于任意一个 \(f[i]\) ，它的状态都是由 \(f[j] (j \gt i)\) 演变过来的，但是我们可以通过先求解 \(f[i]\) ，推导出 \(f[j]\) ，最终获得我们的答案—— \(f[n]\) 。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int n, t[maxn], f[maxn];
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> t[i];
    sort(t+1, t+1+n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (i == 1) f[i] = t[i];
        else if (i == 2) f[i] = t[2];
        else if (i == 3) f[i] = t[2] + t[1] + t[3];
        else f[i] = min(f[i-1]+t[i]+t[1], f[i-2]+t[2]+t[2]+t[i]+t[1]);
    }
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}