03寻找最小的k个数

题目描述：查找最小的k个元素
        题目：输入n个整数，输出其中最小的k个。
        例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

1：最简单直白的思路是，要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，很简单，先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数即可。

至于选取什么的排序方法，可能会第一时间想到快速排序，我们知道，快速排序平均所费时间为n*logn，然后再遍历序列中前k个元素输出，即可，总的时间复杂度为O(n*logn+k) =
O(n*logn)。

线性时间的排序，即计数排序，时间复杂度虽能达到O(n)，但限制条件太多，不常用。

2：再进一步想想，题目并没有要求要查找的k个数，甚至后n-k个数是有序的，既然如此，咱们又何必对所有的n个数都进行排序列？

这时，可以如此：即遍历n个数，先把最先遍历到得k个数存入大小为k的数组之中，对这k个数，利用选择或交换排序，找到k个数中的最大数kmax，用时O(k)，后再继续遍历后n-k个数，x与kmax比较：如果x>kmax，则不更新数组；如果x<kmax，则x代替kmax，并再次重新找出k个元素的数组中最大元素kmax’。(这样，被交换出的kmax至少大于k个数，所以肯定不是最终结果中的数。)这样，整趟下来，总的时间复杂度平均下来为：n*O(k)=
O(n*k)。

上述思想的一个优化，就是维护k个元素的最大堆（大小是k），原理与上述第方案一致，即用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，建堆费时O(k)后。继续遍历数列，每次遍历一个元素x，与堆顶元素比较，x<kmax，更新堆(用时logk)，否则不更新堆。这样下来，总费时O(k+(n-k)*logk)=O(n*logk)。此方法得益于在堆中，查找等各项操作时间复杂度均为logk。

3：实际上，可以用最小堆初始化数组(大小是n，不是k)，然后取这个优先队列前k个值。复杂度O(n)+k*O(log n)。建堆所用时间为O(n)，然后取堆中的前k个数，总的时间复杂度即为：O(n+k*logn)。至于该思路的时间是否小于上述思路的O(n*logk)，即O(n+k*logn)
<O(n*logk) ? 可以这么解决：当k是常数，n趋向于无穷大时，求(n*logk)/(n+k*logn)的极限T，如果 T>1，那么可得O(n+k*logn)< O(n*logk)。最终证明的确如此，这个极值T=logk>1，即采取建立n个元素的最小堆后取其前k个数的方法的复杂度小于采取常规的建立k个元素最大堆后通过比较寻找最小的k个数的方法的复杂度。

        事实上，是建立最大堆还是建立最小堆，其实际的程序运行时间相差并不大，运行时间都在一个数量级上。但是当n比较大时（海量数据），那么需要将n个数都建立最小堆，这个时候，就不如建立k个元素的最大堆适用了。

4：算法导论第9章，曾介绍RANDOMIZED-SELECT(A,p, r, i)算法，该算法可以寻找第i小的数，该算法用类似快速排序的划分方法，N个数存储在数组S中，再从数组中随机选取一个数X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果i小于Sa的元素个数，则递归调用RANDOMIZED-SELECT(A,p,
q-1, i)，否则调用RANDOMIZED-SELECT(A, q+1, r, i-k)。

采用这个算法得到第k小的元素之后，就可以在线性时间内找到所有最小的k个元素：

a：找到了第K小的数X后，再遍历一次数组，找出所有比X小的元素，需要O（N）的时间（比较Xk与数组中各数的大小，凡是比Xk小的元素，都是我们要找的元素）。这个结论非常之简单，也无需证明。

b：找到第k小的元素X后，因为讨论都是基于快速排序的partition方法，而这个方法，每次划分之后，都保证了枢纽元素X的前边元素统统小于Xk，后边元素统统大于Xk。所以，算法本身，在找到第k小的元素之后，之前的元素就是所有最小的k个元素。

RANDOMIZED-SELECT，以序列中随机选取一个元素作为主元，可达到线性期望时间O（N）的复杂度。SELECT，快速选择算法，以序列中“五分化中项的中项”，或“中位数的中位数”作为主元（枢纽元），则不容置疑的可保证在最坏情况下亦为O（N）的复杂度。

至于RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)算法，以及最坏情况下为O(n)的SELECT算法，算法导论第9章都有详述，不再赘述。

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