cojs 二分图计数问题1-3 题解报告

OwO 良心的FFT练手题，包含了所有的多项式基本运算呢

其中一部分解法参考了myy的uoj的blog

二分图计数 1:

实际是求所有图的二分图染色方案和

我们不妨枚举这个图中有多少个黑点

在n个点中选出k个黑点的方案为C(n,k)

白点和黑点之间任意连边，方案为2^(k*(n-k))

所以得到f(n)=sigma(C(n,k)*2^(k*(n-k))

由于本题只需要求解一个f(n)，枚举并计算就可以了

更高端一点的做法是这样的：

我们可以利用在<DAG计数问题 题解报告>中提到的技巧将n*k拆开

即n*k=n^2/2+k^2/2-(n-k)^2/2

这样我们会得到一个可以FFT的形式，之后做一遍FFT就可以求出1-n的所有f值了

二分图计数 2:

实际是求所有图中二分图的个数

设一个二分图有k个联通块，那么对于染色方案数的贡献就是2^k

设n个点的二分图的生成函数为多项式g，上一个问题的生成函数为多项式f

由于k个联通块的子集有2^k个，所以不难发现存在g^2=f

因为任意一个二分图都会在卷积的过程中被重复计算2^k次

这样我们就得到g=sqrt(f) 多项式开根即可

二分图计数 3:

实际是求所有图中联通二分图的个数

设n个点的联通二分图的生成函数为h

由于二分图是由若干个联通二分图组成的

所以得到e^h=g,变形得h=ln(g),多项式求ln即可

考虑一种更好的做法

我们定义n个点的联通二分图的染色方案总数为多项式t

显然h=t/2,问题转化成如何求t

同理我们可以得到e^t=f,变形得t=ln(f),那么我们对f做多项式求ln之后把系数除以2即可

所以进而我们也可以得到<二分图计数 2>的另一种做法

就是利用上面的方法求出h之后做多项式求exp就可以求解出g了