奇怪的分式|2014年蓝桥杯B组题解析第六题-fishers

奇怪的分式

上小学的时候，小明经常自己发明新算法。一次，老师出的题目是：

1/4 乘以 8/5

小明居然把分子拼接在一起，分母拼接在一起，答案是：18/45 （参见图1.png）

老师刚想批评他，转念一想，这个答案凑巧也对啊，真是见鬼！

对于分子、分母都是 1~9 中的一位数的情况，还有哪些算式可以这样计算呢？

请写出所有不同算式的个数（包括题中举例的）。

显然，交换分子分母后，例如：4/1 乘以 5/8 是满足要求的，这算做不同的算式。

但对于分子分母相同的情况，2/2 乘以 3/3 这样的类型太多了，不在计数之列!

注意：答案是个整数（考虑对称性，肯定是偶数）。请通过浏览器提交。不要书写多余的内容。

思路一：dfs全排列，最后筛选条件

思路二：也可以暴力枚举，四成循环。蓝桥杯这种暴力解题很常见！

代码一：

#include<iostream>
using namespace std;

int a[6];
int ans = 0;

//求最大公约数
int gcd(int xx, int yy) {
	if (yy == 0) {
	    return xx;
	}
	return gcd(yy, xx%yy);
}

//测试条件是否满足
bool test(){
	if(a[1] == a[2] && a[3] == a[4]){
		return false;
	}
	if(a[1] == a[3] && a[2] == a[4]){
		return false;
	}

	int x = gcd(a[2]*a[4],a[1]*a[3]);
	int y = gcd(10*a[2]+a[4],10*a[1]+a[3]);
	//同分、化简后再比较两个分数
	if((a[2]*a[4])/x == (10*a[2]+a[4])/y && (a[1]*a[3])/x == (10*a[1]+a[3])/y){
		return true;
	}
	return false;
}

/*
参数x表示第几个位置
b/a c/d，这里 a是a[1]即第一个位置，b是a[2] 即第二个位置 d是a[3] c是a[4]
*/
void dfs(int x){
	if(x == 5){
		if(test()){
			ans++;
//			for(int i=1;i<=4;i++){
//				cout<<a[i]<<" ";
//			}
//			cout<<endl;
			return;
		}
		return;
	}

	//每个位置都可以填9个数
	for(int i=1;i<=9;i++){
		a[x] = i;
		dfs(x+1);//搜索下一个位置
	}
}

int main(){
	dfs(1);//从a这个位置开始搜索，也就是第一个位置
	cout<<ans<<endl;
}

代码二：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define eps 10e-10

int main(){
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i < 10; ++i){
        for(int j = 1; j < 10; ++j){
            for(int r = 1; r < 10; ++r){
                for(int k = 1; k < 10; k ++){
                    if(i == j || r == k)continue;
                    if(fabs( (i*10 + r)*1.0/(j*10+k) - (i*r*1.0)/(j*k)) < eps){
                        //printf("%d/%d : %d/%d\n", (i*10 + r),(j*10+k), i*r,(j*k));
                        ans++;
                    }
                }
            }
       }
    }
    cout<<ans<<endl;
	return 0;
}