题面1 题面2

两个题推导是一样的,具体实现不一样,所以写一起了,以FJOI 2016 建筑师 的题面为标准

前后在组合意义下一样,现在只考虑前面,可以发现看到的这a个建筑将这一段划分成了a-1个区间,区间里的数随意填。

看起来可以用组合数算,但是还要考虑看到的建筑,所以我们把每个建筑和它后面这段区间合起来看。设区间的长度是len,这就是一个len+1个数的圆排列(等于len!,相当于固定一个开头后面随便排)

这样考虑前后就是将n-1个数划分为a+b-2个全排列,n-1是因为最高的那个在两边都没被算进去,是第一类斯特林数。同时a+b-2个圆排列之间还要选出来a-1个放前面,乘上组合数即可。现在关键是如何求第一类斯特林数。

FJOI那道题n*k不是很大,可以直接$O(nk)$递推,边界条件是$S[0][0]=1$,转移是$S[i][j]=S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*(i-1)$

CF那道题只有一次询问,但是n,k都很大,我们考虑第一类斯特林数在第一维固定下的生成函数:$G(x)=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x+i)$,x是从$s[i-1][j-1]$来的,i-1是从$s[i-1][j]*(i-1)$来的。用分治NTT优化

Code1

 //Simple NTT
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define vint vector<int>
using namespace std;
const int N=,mod=;
int fac[N],inv[N],rev[N];
int aa[N],bb[N],pw[][];
int a,b,n,l1,l2,G,Gi,Ni; vint stl;
int Qpow(int x,int k)
{
if(k==) return x;
int tmp=Qpow(x,k/);
return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
}
int C(int a,int b)
{
return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
void SPJ()
{
if(!a||!b||n-<a+b-) printf(""),exit();
if(n==) printf(""),exit();
}
void Pre()
{
fac[]=inv[]=,G=,Gi=Qpow(G,mod-);
for(int i=;i<=;i++)
{
pw[i][]=Qpow(G,(mod-)/(<<i));
pw[i][]=Qpow(Gi,(mod-)/(<<i));
}
for(int i=;i<=a+b;i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
inv[a+b]=Qpow(fac[a+b],mod-);
for(int i=a+b-;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
}
void Prework(vint &a,vint &b)
{
register int i;
l1=a.size()-,l2=b.size()-;
l1+=l2,l2=; while(l2<=l1) l2<<=;
a.resize(l2),b.resize(l2);
for(i=;i<=l2;i++) aa[i]=a[i];
for(i=;i<=l2;i++) bb[i]=b[i];
for(i=;i<l2;i++)
rev[i]=(rev[i>>]>>)+(i&)*(l2>>);
}
void Trans(int *arr,int len,int typ)
{
register int i,j,k;
for(i=;i<len;i++)
if(rev[i]>i) swap(arr[rev[i]],arr[i]);
for(i=;i<=len;i<<=)
{
int lth=i>>,ort=pw[(int)log2(i)][typ==-];
for(j=;j<len;j+=i)
{
int ori=,tmp;
for(k=j;k<j+lth;k++,ori=1ll*ori*ort%mod)
{
tmp=1ll*ori*arr[k+lth]%mod;
arr[k+lth]=(arr[k]-tmp+mod)%mod;
arr[k]=(arr[k]+tmp)%mod;
}
}
}
if(typ==-)
{
int Ni=Qpow(len,mod-);
for(i=;i<=len;i++)
arr[i]=1ll*arr[i]*Ni%mod;
}
}
vint NTT(vint a,vint b)
{
Prework(a,b);
Trans(aa,l2,),Trans(bb,l2,);
for(int i=;i<l2;i++) aa[i]=1ll*aa[i]*bb[i]%mod;
Trans(aa,l2,-);
vint ret; ret.clear();
for(int i=;i<l2;i++) ret.push_back(aa[i]);
return ret;
}
vint CDQ(int l,int r)
{
if(l==r) return {l,};
else
{
int mid=(l+r)/;
vint a1=CDQ(l,mid),a2=CDQ(mid+,r);
return NTT(a1,a2);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
SPJ(),Pre(),stl=CDQ(,n-);
printf("%d",1ll*C(a+b-,a-)*stl[a+b-]%mod);
return ;
}

Code2

 #include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=,M=,mod=1e9+;
int fac[N],inv[N],S[N][M];
int a,b,n,T,l1,l2,G,Gi,Ni;
int Qpow(int x,int k)
{
if(k==) return x;
int tmp=Qpow(x,k/);
return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
}
int C(int a,int b)
{
return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;
}
bool SPJ()
{
if(!a||!b||n-<a+b-)
{puts(""); return false;}
if(n==)
{puts(""); return false;}
return true;
}
void Pre()
{
register int i,j;
fac[]=inv[]=,S[][]=;
for(i=;i<=;i++) fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mod;
inv[]=Qpow(fac[],mod-);
for(i=;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+]*(i+)%mod;
for(i=;i<=;i++)
for(j=;j<=;j++)
S[i][j]=(S[i-][j-]+1ll*(i-)*S[i-][j]%mod)%mod;
}
int main()
{
Pre();
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
if(SPJ()) printf("%lld\n",1ll*C(a+b-,a-)*S[n-][a+b-]%mod);
}
return ;
}

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