题解 【luoguP1967 NOIp提高组2013 货车运输】

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题解

题意

• 给你一个无向图，求两个点之间的一条路径，使路径上的最小值最大

算法：Kruskal最大生成树+倍增lca

分析

• 首先容易知道，答案一定在该图的最大生成树上
• 之后问题便转换成了树上点\(u\)到\(v\)的简单路径42中最小的边权
• 经典的树上倍增
• 用fa[i][j]来表示从第\(i\)个点往上\(2^j\)条边到达的点
• 用s[i][j]来表示从第\(i\)个点往上\(2^j\)条边中的最小值
• 答案就是在求lca的过程中统计一下最小值就可以了（具体详见代码）

复杂度：

Kruskal \(O(m \log m)\)

倍增 \(O(n \log n)\)

总复杂度 \(O(n \log n + m \log m)\)

代码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 50050;
int n, m, q;
int p[MAXN];
int dep[MAXN], vis[MAXN], fa[MAXN][20], s[MAXN][20];
struct Edge
{
	int u, v, w;
	bool operator < (const Edge &_edge) const
	{
		return w > _edge.w;
	}
}edge[MAXN];
int ecnt;
struct node
{
	int v, w;
	node *next;
}pool[MAXN], *head[MAXN];
void addedge(int u, int v, int w)
{
	node *p = &pool[++ecnt], *q = &pool[++ecnt];
	p->v = v, p->w = w, p->next = head[u], head[u] = p;
	q->v = u, q->w = w, q->next = head[v], head[v] = q;
}
int find(int x)
{
	if(p[x] == 0) return x;
	else return p[x] = find(p[x]);
}
bool Union(int x, int y)
{
	int px = find(x);
	int py = find(y);
	if(px == py)
		return false;
	p[px] = py;
	return true;
}
void dfs(int u)
{
	int v;
	vis[u] = 1;
	for(node *p = head[u]; p; p = p->next)
	    if(!vis[v = p->v])
	    {
	    	dep[v] = dep[u] + 1;
	    	fa[v][0] = u;
	    	s[v][0] = p->w;
	    	for(int j = 1; fa[v][j - 1] != 0; j++)
	    	    fa[v][j] = fa[fa[v][j - 1]][j - 1],
	    	    s[v][j] = min(s[v][j - 1], s[fa[v][j - 1]][j - 1]);
	    	    //预处理
	    	dfs(v);
		}
}
int query(int u, int v)//倍增
{
	int ret = 2147483647;//返回值。因为求最小，所以初始赋最大
	if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
	for(int i = 15; i >= 0; i--)
	    if(fa[u][i] != 0 && dep[fa[u][i]] >= dep[v])
	        ret = min(ret, s[u][i]), u = fa[u][i];//一定要先统计最小值
    if(u == v) return ret;
    for(int i = 15; i >= 0; i--)
        if(fa[u][i] != fa[v][i])
            ret = min(ret, min(s[u][i], s[v][i])), //统计最小
            u = fa[u][i],
            v = fa[v][i];
    ret = min(ret, min(s[u][0], s[v][0]));//不要忘了最后还有两条边
    return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; i++)
	    scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
	sort(edge + 1, edge + m + 1);
	for(int i = 1; i <= m; i++)
    	if(Union(edge[i].u, edge[i].v))
    	    addedge(edge[i].u, edge[i].v, edge[i].w);
    dfs(1);
    scanf("%d", &q);
    for(int i = 1; i <= q; i++)
    {
    	int u, v;

    	scanf("%d%d", &u, &v);
    	if(find(u) != find(v))
    	{
    		printf("-1\n");
    		continue ;
		}
    	printf("%d\n", query(u, v));
	}
	return 0;
}