2014 Asia AnShan Regional Contest --- HDU 5073 Galaxy

Galaxy

Problem's Link:   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5073

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Mean:

在一条数轴上，有n颗卫星，现在你可以改变k颗卫星的位置，使得剩下的n-k颗卫星到某个点(不固定)的距离的平方和最小。

抽象成数学语言后等价于：数轴上有n个点，现在去掉k个点，使得剩下的n-k个点的方差最小，求方差*n的值。

analyse:

一道让人很容易想偏的数学题。首先说一下我的思路：

1)我们最终的目的是让这n-k个点尽量的集中，所以去掉的这k个点必须是位于两边的点(想不通的请自行补脑);

2)剩下的事情就是枚举两边的数量了，但是在枚举这一步，怎样才不超时呢?咳咳，这题的关键来了。

我们可以先来推一下公式：

设Fn为这n个数的方差，d为这n个数的平均数，那么:

Fn=[(x1-d)^2+(x2-d)^2+......(xn-d)^2]/n;

　=[sum(xi^2)+n*d*d-2*d*sum(xi)]/n;

根据这个公式来枚举前后个数就简单多了，详见代码。

Time complexity: O(n)

Source code: 

//  Memory   Time
//  1347K     0MS
//   by : Snarl_jsb
//   2014-11-16-22.59
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
#define N 50000+10
double a[N],sum1[N],sum2[N];
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int n,k;
        cin>>n>>k;
        memset(sum1,0,sizeof sum1);
        memset(sum2,0,sizeof sum2);
        double tmp1,tmp2;
        tmp1=tmp2=0.0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            scanf("%lf",&a[i]);
        sort(a+1,a+1+n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            sum1[i]=sum1[i-1]+a[i];
            sum2[i]=sum2[i-1]+a[i]*a[i];
        }
        if(n==k)
        {
            puts("0.0000000000000");
            continue;
        }
        int m=n-k; /**< 需要选的人数 */
        double d;
        double tmp;
        int sta,en;
        double res=1000000000000000000.0;
//        cout<<setprecision(10)<<res<<endl;
        for(int i=1;i+m-1<=n;++i)
        {
            sta=i;
            en=i+m-1;
            d=(sum1[en]-sum1[sta-1])/m;
            tmp=(sum2[en]-sum2[sta-1])+m*d*d-2*d*(sum1[en]-sum1[sta-1]);
            if(tmp<res)
            {
                res=tmp;
            }
        }
        printf("%.9lf\n",res);
    }
    return 0;
}