GMA Round 1 新年祝福

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新年祝福

　　15个人聚集在一起，新年到来，他们每个人写下了一句新年祝福。大家把祝福收集起来，然后重新分回去。如果一个人拿到了自己写的祝福，他就会觉得很没有意思，因为得不到别人的祝福。要避免这种尴尬，一共会有多少种分配方案？

　　一句话题意：求满足下列条件的n的排列个数：对于任意i(1≤i≤n)，排列的第i个数不是i。本题中n=15。

　　例如n=3时，满足条件的排列有2个：312和231

　　设答案数列为$a_n$，容易知道$a_0=1$，$a_1=0$，下面我们证明$a_n=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})$，利用这个式子就可以很容易算出$a_{15}$

　　我们用这样一个角度看待n的一个排列：对于排列的第i个数$b_i$，我们连从i向$b_i$一条边，最后会得到一些环。例如2143对应两个环：1->2->1和3->4->3，长度均为2。31245对应3个环：1->3->2->1，4和5，长度分别为3、1、1。

　　一个符合条件的完全错位的排列不能有长度为1的环。要统计n时的所有合法排列，我们可以把它们分成两类：n所在环长度为2和n所在环大于2。第一类我们可以枚举与n在同一个环上的数字，一共有n-1种可能，此后剩下的n-2个数字可以独立考虑，方案数为$a_{n-2}$，所以是$(n-1)*a_{n-2}$。第二类在删除掉n这个数以后仍然是合法排列，可以在n-1的所有排列上任意位置插入一个n来得到，共有n-1种插入位置，所以是$(n-1)*a_{n-1}$。因此$a_{n}=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2})。$

　　定位：中等题、思维题