GMA Round 1 数列与方程

传送门

数列与方程

　　首项为1，各项均大于0的数列{$a_n$}的前n项和$S_n$满足对于任意正整数n：$S_{n+1}^2-2*S_{n+1}*S_{n}-\sqrt{2}*S_n-1=0$，求$a_{30}$的值，保留3位小数。

　　由$S_{n+1}^2-2S_{n+1}S_{n}-\sqrt{2}S_n-1=0$，$S_{n+1}=a_{n+1}+S_n$可得$a_{n+1}^2=S_n^2+\sqrt{2}S_n+1=S_n^2+1-2*S_n*cos\frac{3\pi}{4}$。

　　因此，可以构成边长为$a_{n+1}$，$S_n$，1的三角形，$S_n$与1的夹角为$\frac{3\pi}{4}$。得$\frac{a_{n+1}}{sin\frac{3\pi}{4}}=\frac{1}{sin\theta}$，当斜边为$a_{n+1}$时，$\theta=(\frac{1}{2})^{n-1}*\frac{\pi}{2^{n+2}}$。于是$a_n=\frac{\sqrt{2}}{2*sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}$

　　定位：中等偏困难题