[ BZOJ 2134 ] 单选错位

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\(Description\)

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一共\(N​\)道题目，第\(i​\)道题有\(A_i​\)个选项，现在有一个人做完了所有题目，但将每一道题的答案都写到了下一道题的位置\((​\)第\(N​\)道写到了第一道的位置\()​\)，现在这个人的选项和每道题的正确答案对于每一个选项均为随机，求这个人做对的题目数的期望。

• \(N\in [1,10^7]\)

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\(Solution\)

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第\(i\)个位置选择了合法的第\(i+1\)个位置的概率，即选了一个范围在\([1,A_{i+1}]\)范围内的数的概率，是\(\frac{min(A_i,A_{i+1})}{A_i}\)。

选对的概率是\(\frac{1}{A_{i+1}}\)，所以第\(i\)个位置做对了第\(i+1\)道题的概率是\(\frac{min(A_i,A_{i+1})}{A_i\times A_{i+1}}=\frac{1}{max(A_i,A_{i+1})}\)。

根据期望的线性性，做对题目总数的期望等于做对每一道题的期望之和，而做对一道题的贡献是\(1\)，所以是做对每一道题的概率之和，求出来每一道的概率之后直接求和就好。

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\(Code\)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 10000010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
typedef long long ll;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int n,A,B,C,a[N];

int main(){
  n=rd(); A=rd(); B=rd(); C=rd(); a[1]=rd();
  for(R int i=2;i<=n;i++) a[i]=((ll)a[i-1] * A + B) % 100000001;
  for(R int i=1;i<=n;i++) a[i] = a[i]%C+1;
  double ans=1.0/(double)max(a[1],a[n]);
  for(R int i=2;i<=n;++i) ans+=1.0/(double)max(a[i],a[i-1]);
  printf("%.3lf\n",ans);
  return 0;
}