最小生成树-普利姆算法lazy实现

算法描述

lazy普利姆算法的步骤：

1.从源点s出发，遍历它的邻接表s.Adj，将所有邻接的边（crossing edges）加入优先队列Q；

2.从Q出队最轻边，将此边加入MST.

3.考察此边的两个端点，对两个端点重复第1步.

示例

从顶点0开始，遍历它的邻接表：边0-7、0-2、0-4、0-6会被加入优先队列Q.

顶点0的邻接表搜索完毕后，边0-7是最轻边，所以它会出队，并加入MST.

如下图：



边0-7出队后，开始考察边的两个端点：

顶点0已经访问过了，跳过；

顶点7还未探索，开始探索顶点7.对7的邻接表进行访问和第一步类似.

我们找到最轻边7-1并加入MST

如下图：

对每条边重复，当所有边都考察完毕，我们就得到了最小生成树,如下图：

时间复杂度

扫描所有边会耗时O(E ).

由于所有的边都会入队,优先队列调整的操作耗时O(logE ).

那lazy方式最差就是O(ElogE ).

其中E 是图的边数.

算法实现

算法的第一步，将源点s所有的邻接的边加入Q，如下：

    /**
     * 找出从源点出发的所有的crossing edges，并用一个优先队列维护他们
     *
     * 原理：
     * 将对未访问的邻接点进行遍历当作一次切断（graph-cut），则源点和邻接点间的边就是crossing edge
     * 根据贪心策略求MST的要求，要加入的边必须是最轻边（权重最小的边），
     * 故而将crossing edges加入优先队列，这样便可用O(logN)的时间找出最小权重边
     *
     * @param src 源点
     */
    private void search(int src) {
        visited[src] = true;
        for(Edge e : g.vertices()[src].Adj) {
            WeightedEdge we = (WeightedEdge)e;
            if(!visited[we.to])
                crossingEdges.offer(we);
        }
    }

算法的第二步和第三步如下：

    /**
     * lazy普利姆算法中，从一个源点出发
     *  1：通过对源点的所有邻接点进行遍历的方式找出所有crossing edges
     *  2：将crossing edges中最轻的（拥有最小的权重）边加入MST
     *  3：将最轻边的另一个顶点作为源点，重复1-2步.
     *
     *
     * @param src 源点
     */
    private void mst(int src) {
        search(src);
        while (!crossingEdges.isEmpty()) {
            WeightedEdge we = crossingEdges.poll();
            //懒惰方式处理不再候选的边
            if(visited[we.src] && visited[we.to])
                continue;
            //加入最小生成树
            mst.offer(we);
            //累积mst的权重
            mstWeight += we.weight;
            //向src的邻接点方向搜索
            if(!visited[we.src])
                search(we.src);
            //向to的邻接点方向搜索
            if(!visited[we.to])
                search(we.to);
        }
    }

其中，维护所有crossing edge的，是一个优先队列：

    /**
     * 优先队列，用于维护crossing edges
     * 高效返回最轻边
     */
    protected PriorityQueue<WeightedEdge> crossingEdges;

带权边的定义很简单，像下面这样：

import java.util.Comparator;

/**
 * Created by 浩然 on 4/19/15.
 * 带权边
 */
public class WeightedEdge extends Edge implements Comparable<WeightedEdge> {
    /**
     * 边的权重
     */
    public Double weight;

    /**
     * 边的源点
     */
    public int src;

    /**
     * 构造一条带权边
     *@param src 源点
     * @param other 目标点
     * @param weight 权重
     */
    public WeightedEdge(int src,int other, Double weight) {
        super(other);
        this.src = src;
        this.weight = weight;
    }

    /**
     * 比较两条边的大小,这里作升序
     * @param to 被比较边
     * @return 如果权重比被比较的边小则返回-1，如果大于则返回1，相等则返回0
     */
    @Override
    public int compareTo(WeightedEdge to) {
        if(this.weight < to.weight)
            return -1;
        else if(this.weight > to.weight)
            return 1;
        return 0;
    }
}

public class Edge {
    public int to;
    public Edge(int key) {
        this.to = key;
    }
}

而顶点的定义更简单，如下：

public class Vertex {
    /**
     * 邻接表
     */
    public LinkedList<Edge> Adj;
}

完整代码

public class LazyPrim extends Algorithm {

    /**
     * 优先队列，用于维护crossing edges
     * 高效返回最轻边
     */
    protected PriorityQueue<WeightedEdge> crossingEdges;

    public LazyPrim(WeightedUndirectedGraph g) {
        super(g);
    }

    /**
     * lazy普利姆算法求MST或MSF（Minimum Spanning Forest最小生成森林）
     *
     * 算法复杂度：最差O(ElogE)
     */
    public void performMST() {
        resetMemo();
        //对图中的所有顶点进行遍历，找出MST或MSF
        for(int  i = 0; i < g.vertexCount();i++){
            if(!visited[i]) {
                mst(i);
            }
        }
    }

    /**
     * lazy普利姆算法中，从一个源点出发
     *  1：通过对源点的所有邻接点进行遍历的方式找出所有crossing edges
     *  2：将crossing edges中最轻的（拥有最小的权重）边加入MST
     *  3：将最轻边的另一个顶点作为源点，重复1-2步.
     *
     *
     * @param src 源点
     */
    private void mst(int src) {
        search(src);
        while (!crossingEdges.isEmpty()) {
            WeightedEdge we = crossingEdges.poll();
            //懒惰方式处理不再候选的边
            if(visited[we.src] && visited[we.to])
                continue;
            //加入最小生成树
            mst.offer(we);
            //累积mst的权重
            mstWeight += we.weight;
            //向src的邻接点方向搜索
            if(!visited[we.src])
                search(we.src);
            //向to的邻接点方向搜索
            if(!visited[we.to])
                search(we.to);
        }
    }

    /**
     * 找出从源点出发的所有的crossing edges，并用一个优先队列维护他们
     *
     * 原理：
     * 将对未访问的邻接点进行遍历当作一次切断（graph-cut），则源点和邻接点间的边就是crossing edge
     * 根据贪心策略求MST的要求，要加入的边必须是最轻边（权重最小的边），
     * 故而将crossing edges加入优先队列，这样便可用O(logN)的时间找出最小权重边
     *
     * @param src 源点
     */
    private void search(int src) {
        visited[src] = true;
        for(Edge e : g.vertices()[src].Adj) {
            WeightedEdge we = (WeightedEdge)e;
            if(!visited[we.to])
                crossingEdges.offer(we);
        }
    }

    @Override
    protected void resetMemo() {
        super.resetMemo();
        //重置优先队列
        crossingEdges = new PriorityQueue<>();
    }
}