【机器学习】EM最大期望算法

EM, ExpectationMaximization Algorithm, 期望最大化算法。一种迭代算法，用于含有隐变量(hidden variable)的概率参数模型的最大似然估计或极大后验概率估计，其概率模型依赖于无法观测的隐变量。

经常用在ML与计算机视觉的数据聚类领域。

EM应用：GMM混合高斯模型、聚类、HMM隐马尔科夫模型等。

一、Jesen不等式

对于凸函数（对于所有实数x，有f’’(x)≥0）。当x时向量时，如果其hessian矩阵H是半正定的（H≥0），那么f是凸函数。如果f’’(x)＞0或者H＞0，那么f是严格凸函数。

关于Jesen不等式：如果f是凸函数，x是随机变量，那么有

                                                E[f(x)]≥
f(Ex)

图形化的表示方法就是：

二、EM原理

最大期望个算法经过两个步骤交替进行计算

step1: 计算期望E，利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值。

step2: 最大化M，最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数值。

（M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中，这个过程不断交替进行）

三、EM算法流程

1. 初始化分布参数

2. 重复直到收敛：

E步骤：估计位置参数的期望值，给出当前的参数估计

M步骤：重新估计分布参数，以使得数据似然性最大，给出位置变量的期望估计。

EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法，既然不能直接最大化L(o)，可以不断建立l的下界（E步），然后优化下界（M步）。