CF908D 【New Year and Arbitrary Arrangement】

蒟蒻渣渣禹小心翼翼发布题解。。。。

  这道题，嗯，期望，dp，好，我们有思路了。。。。

however，

主要问题在于字符串无限延伸，so，我们需要考虑记录前缀的关键量来为DP设置终止状态。

我们不妨设f[i][j]表示前缀中有i个a和j个ab停止后的期望长度，设 A = pa / (pa + pb)，B = pb / (pa + pb)。这样推方程就容易很多。

状态转移方程：f[i][j] = A * f[i + 1][j] + B * f[i][i + j]

接下来只用解决两个问题：

1.终止状态：

当i+j>=k时，再加一个b就会终止，期望为i+j+c，其中：

c=0B+1AB+2A^2B+...+∞A^∞*B

这是等差×等比数列，运用高中数学的错位相减法（特别的，A^∞=0），可以得到：

c=pa/pb

故有终止状态f[i][j]=i+j+pa/pb，i+j>=k。

2.初始状态：

初始空字符串为f[0][0]，但是会发现f[0][0]会从f[0][0]本身转移。
其原因是没有a时会无限加b，解决办法是初始状态设为f[1][0]。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
const int m = 1e9 + 7,N = 1005;
void gcd(int a,int b,int&x,int &y){
    if(!b){
        x = 1;
        y = 0;
        }
    else{
        gcd(b,a % b,y,x);
        y -= x * (a / b);
    }
}
int inv(int a){
    int x,y;
    gcd(a,m,x,y);
    return (x % m + m) % m;
}
LL f[N][N],k,pa,pb,A,B,C;
int main(){
    scanf("%d %d %d",&k,&pa,&pb);
    A = (pa * inv(pa + pb) % m);
    B = (1 - A + m) % m;
    C = (pa * inv(pb) % m);
    for(int i = k;i >= 1;i--)
        for(int j = k;j >= 0;j--)
            f[i][j] = i + j >= k ? (i + j + C) % m : (A * f[i + 1][j] + B * f[i][i + j]) % m;
    printf("%d",f[1][0]);
    return 0;
}