算法复杂度表示（大O表示法）

- 概念：

  　　 大O表示法：称一个函数g(n)是O(f(n))，当且仅当存在常数c>0和n0>=1，对一切n>n0均有|g(n)|<=c|f(n)|成立，也称函数g(n)以f(n)为界或者称g(n)囿于f(n)。记作g(n)=O(f(n))。 定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数。T(n)称为这一算法的“时间复杂度”。当输入量n逐渐加大时，时间复杂度的极限情形称为算法的“渐近时间复杂度”。

　　 即`运行时间`指一种算法的运算时间的增速，并不是以秒为单位的速度。一个算法，并不仅仅要知道他运行的时间，还要知道其随着数据内容的增加他的运算时间是如何增加的。 O(n) 中n是操作的次数。

- 表示意义

    - 他表示一种算法在最糟糕的情况下需要计算的次数。比如在一个电话簿（n个电话）中找一个电话，利用快速查找，最好的情况是第一次就找到，最坏的情况是第n次找到。这个运行时间要按照最糟糕的情况算  即O(n)

　　-我们常用大O表示法表示时间复杂度，注意它是某一个算法的时间复杂度。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2），它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外，一个问题本身也有它的复杂度，如果某个算法的复杂度到达了这个问题复杂度的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

- 常见的大O运行时间（从快到慢进行排序）

    - O(㏒n)   对数时间  比如二分查找

    - O(n)      线性时间  比如简单查找

    - O(n*㏒n)      比如快速排序

    - O(n²)         比如选择排序

    - O(n！)         比如旅行者问题

 

复杂度与时间效率的关系：

c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）

- 总结

    - 算法的速度并非指时间，不是以秒为单位；而是操作数的增速。从增量的角度度量的。

    - 平时说的算法的速度，指的是随着输入的增加，其运行时间将会以什么样的速度进行增加。

    - 算法运行时间用大O表示法表示。

    - O(㏒n)比O(n)快。当操作的元素越来，快的越明显。

- 旅行商问题

    - 内容

        - 一个旅行商要去5个城市，他想选择一个最短的距离，共有5！=120中方法。运行时间为：O(n！) 即操作数（运算的次数）为n的阶层。