[HAOI2006]数字序列

题目描述

现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。

输出格式：

第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。

第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变的绝对值之和的最小值。

输入输出样例

输入样例#1：
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4
5 2 3 5

输出样例#1： 复制

1
4

说明

【数据范围】

90%的数据n<=6000。

100%的数据n<=35000。

保证所有数列是随机的。

一份讲解的链接

先将数组每一位a[i]减i

这样单调上升就变成了不下降

在给第n+1位加一个正无穷的值(可以做所有子串的结尾，用于统计第2问的答案)

第一问：求最长不下降串长L

答案就是n-L

第二问：首先令f[i]表示1～i的最长不下降长度，g[i]为将1～i变为不下降的代价

对于一对(i,j)且f[i]=f[j]+1

设w(i,j)为将j+1~i变为单调不下降的最小代价

有一个结论：

找到一个断点k

j+1~k全部变成a[j],k+1~i全部变成a[i]

这样一定可以找到这个最小代价

证明见链接

这个复杂度很玄学，最坏O(n^3)，但数据是随机的，所以远远达不到

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 typedef long long lol;
 struct Node
 {
   int next,to;
 }edge[];
 int L,n,head[],num,Min[],a[];
 lol s1[],s2[],g[],f[];
 void add(int u,int v)
 {
   num++;
   edge[num].next=head[u];
   head[u]=num;
   edge[num].to=v;
 }
 int find(int x)
 {
   int l=,r=L,as=;
   while (l<=r)
     {
       int mid=(l+r)/;
       if (Min[mid]<=x) as=mid,l=mid+;
       else r=mid-;
     }
   return as;
 }
 int main()
 {int i,j,k;
   cin>>n;
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       scanf("%d",&a[i]);
       a[i]-=i;
     }
   ++n;
   a[n]=(<<);
   memset(Min,,sizeof(Min));
   Min[]=-<<;L=;
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       int t=find(a[i]);
       f[i]=t+;
       L=max(L,t+);
       Min[t+]=min(Min[t+],a[i]);
     }
   cout<<n-L<<endl;
   for (i=n;i>=;i--)
     {
       add(f[i],i);
       g[i]=1ll<<;
     }
   a[]=-<<;g[]=;
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       for (j=head[f[i]-];j;j=edge[j].next)
     {
       int v=edge[j].to;
       if (v>i) break;
       if (a[v]>a[i]) continue;
       for (k=v;k<=i;k++)
         s1[k]=abs(a[k]-a[v]),s2[k]=abs(a[k]-a[i]);
       for (k=v+;k<=i;k++)
         s1[k]+=s1[k-],s2[k]+=s2[k-];
       for (k=v;k<i;k++)
         g[i]=min(g[i],g[v]+s1[k]-s1[v]+s2[i]-s2[k]);
     }
     }
   cout<<g[n];
 }