JZOJ 捕老鼠

题目

实际上经转换得：

给了 \(n(n \le 5 \times 10^5)\) 条线段，求覆盖 \([1..n]\) 需要的最少条数

分析

设 \(f_i\) 表示覆盖了 \([1..n]\) 时需要的最少的线段数

那么 \(O(n^2)\) 的转移是这样的

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 5e5 + 5;
int n , a[N] , f[N];

int main()
{
	scanf("%d" , &n);
	for(register int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d" , a + i) , f[i] = N;
	for(register int i = 1; i <= n; i++)
		for(register int j = 1; j <= n; j++)
		{
			int l = max(j - a[j] , 1) , r = min(j + a[j] , n);
			if (l <= i && i <= r) f[i] = min(f[i] , f[l - 1] + 1);
		}
	printf("%d" , f[n]);
}

而我们发现在转移时，\(f_i\) 的要取所有满足条件的线段的 \(f_{l-1}\) 的最小值

而要满足的条件就是 \(l \leq i \leq r\)

于是我们用线段树维护

逆着考虑，维护每个 \(f_i\) 能影响的范围

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define ls (k << 1)
#define rs (ls | 1)
using namespace std;

const int N = 5e5 + 5 , INF = 0x3f3f3f3f;
int n , f[N] , nxt[N] , seg[N * 4] , tag[N * 4];
struct node{
	int l , r;
}a[N];

void pushdown(int k)
{
	if (tag[k] == INF) return;
	seg[ls] = min(seg[ls] , tag[k]) , tag[ls] = min(tag[ls] , tag[k]);
	seg[rs] = min(seg[rs] , tag[k]) , tag[rs] = min(tag[rs] , tag[k]);
	tag[k] = INF;
}

void update(int l , int r , int k , int tl , int tr , int v)
{
	if (tl <= l && r <= tr)
	{
		seg[k] = min(seg[k] , v) , tag[k] = min(tag[k] , v);
		return;
	}
	pushdown(k);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (tl <= mid) update(l , mid , ls , tl , tr , v);
	if (tr > mid) update(mid + 1 , r , rs , tl , tr , v);
	seg[k] = min(seg[ls] , seg[rs]);
}

int query(int l , int r , int k , int x)
{
	if (l == r && l == x) return seg[k];
	pushdown(k);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) return query(l , mid , ls , x);
	if (x > mid) return query(mid + 1 , r , rs , x);
}

int main()
{
	scanf("%d" , &n);
	int x;
	for(register int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d" , &x);
		a[i].l = max(i - x , 1) , a[i].r = min(i + x , n);
		if (a[nxt[a[i].l - 1]].r < a[i].r) nxt[a[i].l - 1] = i;
	}
	memset(seg , 0x3f3f3f3f , sizeof seg) , memset(tag , 0x3f3f3f3f , sizeof tag);
	if (nxt[0] != 0) update(1 , n , 1 , a[nxt[0]].l , a[nxt[0]].r , 0);
	for(register int i = 1; i <= n; i++)
	{
		f[i] = query(1 , n , 1 , i) + 1;
		if (nxt[i] != 0) update(1 , n , 1 , a[nxt[i]].l , a[nxt[i]].r , f[i]);
	}
	printf("%d" , f[n]);
}