【数论】洛谷P1414又是毕业季II

题目背景

“叮铃铃铃”，随着高考最后一科结考铃声的敲响，三年青春时光顿时凝固于此刻。毕业的欣喜怎敌那离别的不舍，憧憬着未来仍毋忘逝去的歌。1000多个日夜的欢笑和泪水，全凝聚在毕业晚会上，相信，这一定是一生最难忘的时刻！

题目描述

彩排了一次，老师不太满意。当然啦，取每位同学的号数来找最大公约数显然不太合理。于是老师给每位同学评了一个能力值。于是现在问题变为，从n个学生中挑出k个人使得他们的默契程度（即能力值的最大公约数）最大。但因为节目太多了，而且每个节目需要的人数又不知道。老师想要知道所有情况下能达到的最大默契程度是多少。这下子更麻烦了，还是交给你吧~

PS：一个数的最大公约数即本身。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个正整数n。

第二行为n个空格隔开的正整数，表示每个学生的能力值。

输出格式：

总共n行，第i行为k=i情况下的最大默契程度。

输入输出样例

输入样例#1：

4
1 2 3 4

输出样例#1：

4
2
1
1

说明

【题目来源】

lzn原创

【数据范围】

记输入数据中能力值的最大值为inf。

对于20%的数据，n<=5，inf<=1000

对于另30%的数据，n<=100，inf<=10

对于100%的数据，n<=10000，inf<=1e6

题解

一开始很容易想到枚举n个数取k个的所有组合，然后分别用辗转相除法求最大公约数，但是复杂度明显不符合要求，于是必须换一种思路。

我们想到k个数的公约数含义就是这k个数均含有某个因数

如果我们把所有数的因数全部求出来，发现有k个数均含有某个因数，那么这个数必然是这k个数的公约数

其中找出最大的就是它们的最大公约数。但是要如何高效的做到这点呢？

考虑到对于k=1，2……，n都要求出，我们可以这么做：

• 1、 求出每个因数出现的次数。

• 2、 对于每个次数记录最大的因数。

• 3、记录能力最大值之后用while语句将其不断减小（因为k=1时显然最大公约数为最大能力值，之后的公约数显然小于等于前一个数）

算法复杂度o(n*sqrt(inf))。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int n,ma,a[],b[];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        ma=max(ma,a[i]);
        int k=sqrt(a[i]);
        for(int j=;j<=k;++j)
            if(a[i]%j==)
            {
                b[j]++;
                if(j*j!=a[i])b[a[i]/j]++;
            }
    }
    for(int i=;i<=n;++i)
    {
        while(b[ma]<i)ma--;
        printf("%d\n",ma);
    }
}