LightOJ - 1038 Race to 1 Again 递推＋期望

题目大意：给出一个数，要求你按一定的规则将这个数变成1

规则例如以下，如果该数为D,要求你在[1,D]之间选出D的因子。用D除上这个因子，然后继续按该规则运算。直到该数变成1

问变成1的期望步数是多少

解题思路：递推，设该数为D。有N个因子，各自是1,n1,n2,n3…nn-2,D,

那么选到每一个因子的概率都是1/N,除非选到D，不然选到其它因子的话都要多1步。然后再计算D除以该因子的期望

这就能得到公式了，设dp[D]为数D按规则变成1的期望步数

那么dp[D] = 1/N * (dp[D/1] + 1) + 1 / N * (dp[D/n1] + 1) + 1/ N * (dp[D/n2] + 1) + … + 1/N * (dp[D/nn-2] + 1) + 1/N * (dp[D / D] + 1)

化简得 dp[D] = 1 / (N-1) * (dp[D/n1] + dp[D/n2] + … + dp[D/nn-2] + N)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define maxn 100010
double dp[maxn];

void init() {
    dp[1] = double(0);

    for(int i = 2; i <= 1e5; i++) {
        int cnt = 0;
        dp[i] = 0.0;
        for(int j = 1; j * j <= i; j++) {
            if(i % j == 0 && i / j != j) {
                cnt += 2;
                dp[i] += dp[j] + dp[i / j] + 2;
            }
            if(j * j == i) {
                cnt += 1;
                dp[i] += dp[j] + 1;
            }
        }
        dp[i] /= (cnt - 1);
    }
}

int main() {
    init();
    int test, cas = 1, n;
    scanf("%d", &test);
    while(test--) {
        scanf("%d", &n);
        printf("Case %d: %.10lf\n", cas++, dp[n]);
    }
    return 0;
}