BZOJ 2705: [SDOI2012]Longge的问题

2705: [SDOI2012]Longge的问题

Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 2554  Solved: 1566
[Submit][Status][Discuss]

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

round1 day1

分析：

继续学数学...如果今天不GG，预计应该是高产的一天...然而题目难度2333...

根据Dirichlet卷积：id(i)=i,id=φ×1,(f×g)=Σ(d|n)f(d)*g(n/d)

Σ(1<=i<=n) gcd(i,n)

=Σ(1<=i<=n) id(gcd(i,n))

=Σ(1<=i<=n) Σ(d|gcd(i,n))φ(d)

=Σ(d|n)φ(d)*n/d

代码：

 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 //by NeighThorn
 #define int long long
 using namespace std;
 //大鹏一日同风起，扶摇直上九万里

 int n,m,ans; 

 inline int phi(int x){
     int cnt=x;
     for(int i=;i<=m;i++)
         if(x%i==){
             cnt=cnt/i*(i-);
             while(x%i==)
                 x/=i;
         }
     if(x>)
         cnt=cnt/x*(x-);
     return cnt;
 }

 signed main(void){
     scanf("%lld",&n);
     m=sqrt(n);ans=;
     for(int i=;i<=m;i++)
         if(n%i==){
             ans+=phi(i)*n/i;
             if(n/i>m)
                 ans+=phi(n/i)*i;
         }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

---

by NeighThorn