正睿OI国庆day1

正睿OI国庆day1

T1

\[S_n=1*S_{n-1}+1*F_{n-1}+1*F_{n-2}+1*f_{n-1}+1*f_{n-2}
\]

\[F_{n}=0*S_{n-1}+1*F_{n-1}+1*F_{n-2}+1*f_{n-1}+1*f_{n-2}
\]

\[F_{n-1}=0*S_{n-1}+1*F_{n-1}+0*F_{n-2}+0*f_{n-1}+0*f_{n-2}
\]

\[f_n=0*S_{n-1}+0*F_{n-1}+0*F_{n-2}+1*f_{n-1}+1*f_{n-2}
\]

\[f_{n-1}=0*S_{n-1}+0*F_{n-1}+0*F_{n-2}+1*f_{n-1}+0*f_{n-2}
\]

矩阵：(要竖过来)

\(1 1 1 1 1\)

\(0 1 1 1 1\)

\(0 1 0 0 0\)

\(0 0 0 1 1\)

\(0 0 0 1 0\)

矩阵乘法O(logn)求得

好像可以生成函数搞，晚上学一下

\(f'n=\frac{x}{1-x-x^2}\)

\(F'x=f'^2x\)

\(G'x=F'x\frac{1}{1-x}\)

其中\('\)是上尖号

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
ll read(){
	ll x=0,pos=1;char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') pos=0;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return pos?x:-x;
}
ll n;
struct node{
	ll g[5][5];
}ori,f1,f2;
const ll mod=998244353;
node mul(node a,node b){
	node c;memset(c.g,0,sizeof(c.g));
	for(int i=0;i<=4;i++){
		for(int j=0;j<=4;j++){
			for(int k=0;k<=4;k++){
				c.g[i][j]=(c.g[i][j]+(a.g[i][k]*b.g[k][j])%mod);
				if(c.g[i][j]>=mod) c.g[i][j]-=mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
node ksm(node a,ll b){
	node res=ori;
	while(b){
		if(b&1){
			res=mul(res,a);
		}
		b>>=1;
		a=mul(a,a);
	}
	return res;
}
int main(){
	n=read();n++;
	if(n==1){
		printf("1");
		return 0;
	}
	if(n==2){
		printf("3");
		return 0;
	}
	memset(ori.g,0,sizeof(ori.g));
	ori.g[0][0]=1;
	ori.g[1][1]=1;
	ori.g[2][2]=1;
	ori.g[3][3]=1;
	ori.g[4][4]=1;
	ori.g[5][5]=1;
	memset(f1.g,0,sizeof(f1.g));
	f1.g[0][0]=1;
	f1.g[1][0]=1;
	f1.g[1][1]=1;
	f1.g[1][2]=1;
	f1.g[2][0]=1;
	f1.g[2][1]=1;
	f1.g[3][0]=1;
	f1.g[3][1]=1;
	f1.g[3][3]=1;
	f1.g[3][4]=1;
	f1.g[4][0]=1;
	f1.g[4][1]=1;
	f1.g[4][3]=1;
	node s=ksm(f1,n-2);
	printf("%lld",(s.g[0][0]*3%mod+s.g[1][0]*2%mod+s.g[2][0]+s.g[3][0]+s.g[4][0])%mod);
	return 0;
}

T2

考虑换根的时候一部分答案不变

处理最大值和次大值

dfs更新答案就行了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
int read(){
	int x=0,pos=1;char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') pos=0;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return pos?x:-x;
}
const int N = 200001;
int f[N][20];
struct node{
	int v,nex,w;
}edge[N];
int head[N],top=1,n,m,dep[N],c[N],cnt[N],fa[N];
ll ans[N],g[N][2],tot;
inline void add(int u,int v){
	edge[++top].v=v;
	edge[top].nex=head[u];
	head[u]=top;
}
void dfs1(int now,int pre){
	f[now][0]=pre;
	dep[now]=dep[pre]+1;
	for(int i=1;i<=18;i++){
		f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){
		int v=edge[i].v;
		if(v!=f[now][0]) dfs1(v,now);
	}
}
int get_lca(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
	for(int i=18;i>=0;i--){
		if(dep[f[u][i]]>=dep[v]) u=f[u][i];
	}
	if(u==v) return u;
	for(int i=18;i>=0;i--){
		if(f[u][i]!=f[v][i]) u=f[u][i],v=f[v][i];
	}
	return f[u][0];
}
void dfs2(int now){
	for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){
		int v=edge[i].v;
		if(v!=f[now][0]){
			dfs2(v);
			cnt[now]+=cnt[v];
			if(cnt[v]>=g[now][0]){
				g[now][1]=g[now][0];
				g[now][0]=cnt[v];
			}else if(cnt[v]>g[now][1]){
				g[now][1]=cnt[v];
			}
			ans[1]+=cnt[v];
		}
	}
	cnt[now]+=c[now];
	ans[1]-=g[now][0];
}
long long re=0;
void dfs3(int now){
	for(int i=head[now];i;i=edge[i].nex){
		int v=edge[i].v;
		if(v==f[now][0]) continue;
		ans[v]=ans[now];
		if(cnt[v]==g[now][0]){
			ans[v]+=(g[now][0]-g[now][1]);
		}
		if(cnt[v]>g[v][0]){
			ans[v]-=(cnt[v]-g[v][0]);g[v][1]=g[v][0];g[v][0]=cnt[v];
		}else if(cnt[v]>g[v][1]) g[v][1]=cnt[v];
		dfs3(v);
	}
	re=min(re,ans[now]);
}
int main(){
	re=19280817000000ll;
	n=read(),m=read();
	for(int i=1,u,v;i<n;i++){
		u=read(),v=read();
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
	dfs1(1,0);
	for(int u,v,i=1;i<=m;i++){
		u=read(),v=read();
		int lca=get_lca(u,v);
		c[u]++;c[v]++;c[lca]-=2;
	}
	dfs2(1);
	dfs3(1);
	printf("%lld",re);
	return 0;
}

T3

\(f(i,S,M) ---- f(i+1,S+1,max(M,g(a_i,b_i)))\)

转移过程是获胜事件的发生概率