Implicit Neural Representations with Periodic Activation Functions

概
主要内容
- 初始化策略
- 其它的好处

Sitzmann V., Martel J. N. P., Bergman A. W., Lindell D. B., Wetzstein G. Implicit neural representations with periodic activation functions. Advances in Neural Information Processing Systems (NIPS), 2020.

概

本文提出用$\sin$作为激活函数, 并分析该类型的网络应该如何初始化.

主要内容

本文研究如下的网络结构:

\[\Phi(x) = W_n (\phi_{n-1} \circ \phi_{n-2}\circ \cdots \circ \phi_0)(x), x_i \rightarrow \phi_i(x_i) = \sin (W_i x_i + b_i).
\]

即一个用sin作为激活函数的MLP.

为了说明使用sin作为激活函数的好处, 作者首先利用一个简单的例子作为说明, 设想如下的任务:

$\Phi$ 以位置坐标$(i, j)$为输入, 输出$\Phi(i, j) \in \mathbb{R}^3$表示该像素点图片的r, g, b;
$\Phi$以一个图片作为训练集, 假设该图片为$f(i, j) \in \mathbb{R}^3, i = 1,2,\cdots, j = 1,2,\cdots, W$, 则训练集为$\{(i, j, f(i, j))\}$, 共$HW$个坐标点及其对应的目标;
通过平方损失$\tilde{\mathcal{L}} = \sum_i \sum_j \|\Phi(i, j) - f(i, j)\|^2$训练网络.

上图给了一个例子(既然是灰度图, 我想这时$\Phi(i, j) \in \mathbb{R}$), 展示了用不同激活函数得到的$\Phi(i, j)$的图, 显然图和原图越接近, 说明拟合能力越强.

特别的, 作者还展示了$\nabla f(x)$和$\Delta f(x)$ (分别用sobel算子和laplacian算子得到的) 和各自网络关于$(i, j)$的梯度和二阶梯度的比较. 发现只有SIREN是高度一致的(一个很重要的原因是ReLU等分段连续函数二阶导为0).

初始化策略

作者希望每一层(除了第一层)的输入输出的分布是一致的, 这能够让堆叠网络层数变得容易, 加快收敛.

其策略是:

\[w_i \sim \mathcal{U}(-\sqrt{6 / n}, \sqrt{6 / n}),
\]

其中$n$是输入$x \in \mathbb{R}^n$的维度.

但是, 因为$\sin (wx+b)$中的$w$可以看成是采样频率, 为了保证第一层的采样频率足够高(采样定理), 作者乘上了一个额外的系数:

\[\sin (w_0 \cdot W x + b),
\]

文中说$w_0=30$是一个不错的选择.

同时作者还发现, 该技巧应用于别的层一样有效, 所以干脆所有层都长上面那个样, 同时

\[w_i \sim \mathcal{U}(-\sqrt{6 / w_0^2n}, \sqrt{6 / w_0^2n}).
\]

作者认为这么做有效是因为关于$W$的梯度也乘上了一个因子$w_0$, 但同时分布不变.

其它的好处

SIREN对于包含梯度问题的处理尤为出色, 这或许应该归功于其导数依然是一个SIREN网络, 而如ReLU的一阶导为常数, 二阶导为0自然无法胜任.

类似的结构, 但是这一次, 假设只知道图片的$\nabla f(i, j)$或者$\Delta f(i, j)$,由此通过

\[\|\nabla \Phi(i, j) - \nabla f(i, j)\|^2,
\]

或者

\[\|\Delta \Phi(i, j) - \Delta f(i, j)\|^2,
\]

来拟合, 则$\Phi(i, j)$依然输出和$f(i, j)$相近的结果(如上图左所示).

上图右则是逼近$\alpha \nabla f_1 (i, j) + ( 1- \alpha) f_2 (i, j)$

对两张图片进行混合, 得到的$\Phi(i, j)$恰为两张图片的融合.

SIREN的强大之处可见一斑.