解题：SPOJ 422 Transposing is Even More Fun

题面

这种换来换去的东西很容易想到置换群那一套，然后题目甚至还暗示了二进制=。=

直接换的话显然是$2^{a+b}$次，但是一个循环节里可以少换一次，然后问题就变成了数循环节

在一个循环节里的位置有什么特征？用二进制表示位置，那么他们的位置可以通过循环左移a位/循环右移b位互相表示，然后问题就变成了：在左移a位/右移b位的置换群作用下，在a+b个01构成的环里找等价类。仍然不好做，因为现在直接Burnside做不出来，Polya又还没法做，继续转换

我们把每$gcd(a,b)$个数缩成一个，也就是转成$\frac{(a+b)}{gcd(a,b)}$个环数等价类。这样的好处是旋转都变成了1位，然后套上Polya就可以了，大概需要卡一卡常？

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int N=1e6+,mod=1e6+;
 int T,a,b,cnt,c1,c2,pwe[],prf[];
 int pw[N],npr[N],pri[N],mind[N],fac[N],fai[N];
 int GCD(int a,int b)
 {
     return b?GCD(b,a%b):a;
 }
 void Add(int &x,int y)
 {
     x+=y;
     if(x>=mod) x-=mod;
 }
 int Qpow(int x,int k)
 {
     if(k==) return x;
     int tmp=Qpow(x,k/);
     return k%?1ll*tmp*tmp%mod*x%mod:1ll*tmp*tmp%mod;
 }
 void Pre()
 {
     npr[]=true,mind[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         if(!npr[i]) pri[++cnt]=i,mind[i]=i;
         for(int j=,k;j<=cnt&&(k=i*pri[j])<=;j++)
         {
             npr[k]=true,mind[k]=pri[j];
             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
     pw[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
         pw[i]=pw[i-]*%mod;
 }
 void DFS(int idx,int num,int phi)
 {
     if(idx>c2)
         fac[++c1]=num,fai[num]=phi;
     else
     {
         int pr=prf[idx];
         DFS(idx+,num,phi);
         DFS(idx+,num*=pr,phi*=pr-);
         for(int i=;i<=pwe[idx];i++)
             DFS(idx+,num*=pr,phi*=pr);
     }
 }
 void Decompose(int x)
 {
     if(x==)
         fac[c1=]=;
     else
     {
         c2=;
         while(x!=)
         {
             prf[++c2]=mind[x],pwe[c2]=;
             while(x%prf[c2]==) x/=prf[c2],pwe[c2]++;
         }
         c1=,DFS(,,);
     }
 }
 int Query(int len,int col)
 {
     int ret=;
     Decompose(len);
     for(int i=;i<=c1;i++)
         Add(ret,1ll*fai[len/fac[i]]*Qpow(col,fac[i])%mod);
     return 1ll*ret*Qpow(len,mod-)%mod;
 }
 int main()
 {
     Pre();
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d",&a,&b);
         if(!a||!b) puts("");
         else
         {
             int g=GCD(a,b);
             printf("%d\n",(pw[a+b]-Query((a+b)/g,pw[g])+mod)%mod);
         }
     }
     return ;
 }