BZOJ 3787: Gty的文艺妹子序列

3787: Gty的文艺妹子序列

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Description

Autumn终于会求区间逆序对了!Bakser神犇决定再考验一下他，他说道：

“在Gty的妹子序列里，某个妹子的美丽度可也是会变化的呢。你还能求出某个区间

中妹子们美丽度的逆序对数吗？当然，为了方便，这次我们规定妹子们的美丽度在

[1,n]中。仍然强制在线。”

Autumn需要你的帮助。

给定一个正整数序列a(1<=ai<=n)，支持单点修改，对于每次询问，输出al...ar中

的逆序对数，强制在线。

Input

第一行包括一个整数n(1<=n<=50000),表示数列a中的元素数。

第二行包括n个整数a1...an(1<=ai<=n)。

接下来一行包括一个整数m(1<=m<=50000),表示操作的个数。

接下来m行,每行包括3个整数。

0 L R (1<=L<=R<=n) 询问[L,R]中的逆序对数。

1 p v (1<=p<=n,1<=v<=n) 将p位置的数修改为v。

L,R,p,v 都需要异或上一次的答案，保证异或之后的值是合法的。

保证涉及的所有数在int内。

Output

对每个询问，单独输出一行，表示al...ar中的逆序对数。对每个询问，单独输出一行，表示al...ar中的逆序对数。

Sample Input

10
1 7 5 6 9 4 9 4 4 7
10
0 4 6
0 5 8
0 1 10
1 25 19
0 19 25
1 14 4
0 12 12
0 2 5
1 8 7
1 1 10

Sample Output

2
3
16
13
0
2

HINT

Source

By Autumn

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又是分块，然后LincHpin给出了一个和PoPoQQQ很像的做法，我则选择另外的一种。客观地讲，两者的理论复杂度都是$O(N\sqrt{N}log(N))$，代码难度也都那样（不会太简单）。

大爷的方法

预处理

先分块，预处理块内逆序对，维护块内权值。然后G[i][j]表示第i块和第j块形成的逆序对，即统计了所有一个在第i块，一个在第j块的逆序对，这个也是一开始预处理一下，第一维暴力，第二维树状数组维护。因为妹子颜值的大小不会太大，所以可以开个数组E[i][j]表示前i块内颜值为j的妹子个数，简单与处理一下就有了。还需要用S[i][j]表示前i块内颜值小于等于j的妹子数量，类似于E[i][j]的前缀和，第一维暴力，第二维树状数组维护。

查询

查询区间分为两种：左右边界处的零碎妹子，中间块内的大把妹子。

零碎妹子内部暴力，和中间妹子产生的逆序对直接通过E,S数组求出来，复杂度$O(\sqrt{N}log(N))$。

中间大把妹子也属于多个分块，先加上每个分块内部的逆序对，再加上$\sum{G[i][j]}$，这个第一维暴力枚举，第二维在树状数组中查询，复杂度$O(\sqrt{N}log(N))$。

修改

修改一个妹子的颜值时，块内逆序对的变化可以直接对块进行暴力重做，复杂度$O(\sqrt{N}log(N))$，改变该块的权值线段树，$O(log(N))$。

考虑对G[i][j]的影响，只有$O(\sqrt{N})$个G[i][j]包含该妹子（即该妹子所在的块），因为每个块维护了权值线段树，单个改动是$O(log(N))$的，所以总复杂度$O(\sqrt{N}log(N))$。

考虑对E[i][j]的影响，只有$O(\sqrt{N})$个E[i][j]需要改动，单个改动是$O(1)$的，总的复杂度是$O(\sqrt{N})$。

考虑对S[i][j]的影响，只有$O(\sqrt{N})$个E[i][j]需要改动，单个改动是$O(log(N))$的，总的复杂度是$O(\sqrt{N}log(N))$。

蒟蒻（小生）的方法

基本的分块还是和大爷一样的，G[i][j]表示从第i块到第j块的区间内的逆序对数，用树状数组套主席树维护区间权值分布并支持单点修改。

查询就是直接取出中间的大把妹子，从G[i][j]中查询答案，暴力扫描两侧的零碎妹子，用权值主席树处理其和大把妹子产生的逆序对。

修改主要是考虑到G[i][j]的问题。大爷起初认为G[i][j]一共有N个，所以不能快速修改。但是发现可以这么考虑：

设修改妹子在块k

所有i<k的G都会被修改，暴力枚举一下i的话，对于一个i，只有满足j>k的G[i][j]才会被累加上i到k这一区间产生的改变量，对于一个i这是个区间加问题。

所有j>k的G都会被修改，暴力枚举一下j的话，对于一个j，只有满足i<k的G[i][j]才会被累加上k到j这一区间产生的改变量，对于一个j这是个区间加问题。

所以分开维护固定i,j时产生的改变量，做$O(\sqrt{N})$次区间加（线段树或树状数组支持），每次取出G[i][j]的时候都额外查询一下[i][j]上的标记即可。

@Author: YouSiki