bzoj 1233: [Usaco2009Open]干草堆tower 【想法题】

首先这题的$n^3$的DP是比较好想的

$f[i][j]$表示用前$i$包干草 且最顶层为第$j+1$包到第$i$包 所能达到的最大高度

然而数据范围还是太大了 因此我们需要去想一想有没有什么单调性

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从其他人的题解中 可以看到一个结论 我们尽量使底层最短 便可逐渐达到最优解

然后再结合递推的思想去做 我们就会使在底层最短的基础上使第二层最短 以此类推……

然而根据这个结论 我还是没有什么明确的实现思路 不过忽然想到了这样一组数据

3

2 1 4

我们会发现 仅用前两包 可以达到2的高度 然而加上第3包后 反而只能达到1的高度了

可是如果倒着推的话 情况就大不一样了 因为多的部分直接堆在底层就好了

所以倒着推所得到的答案是单调的

这样的话 我们又可以用 $f[i]$记录以$i$到$n$包做草堆 底层的最小长度 $g[i]$记录此时能达到的最大高度

这样就优化到$n^2$了

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接下来 我们再观察一下递推式

$f[i]=min(sum[j-1]-sum[i-1])$,$(j>i,f[j]<=sum[j-1]-sum[i-1])$

显然$f[i]$从较小的j转移过来结果会更优(如果符合转移条件的话)  $(*)$

而对于转移条件 $f[j]<=sum[j-1]-sum[i-1]$ 我们把式子移项得到 $sum[i-1]<=sum[j-1]-f[j]$

这样的话 对于决策j 显然$sum[j-1]-f[j]$越大 可以作为决策的情况就越多 而根据$(*)$ 我们知道j越小越好

因此如果存在决策$k>j$ 满足 $sum[k-i]-f[k]>=sum[j-1]-f[j]$ 那么决策k便一定不能用上

于是这个问题就转变为了用单调队列来维护单调性DP的经典模型了

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具体实现可参考代码(然而如果把上面的内容认真读了还不会自己实现的话……)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define imax(x,y) (x>y?x:y)
#define imin(x,y) (x<y?x:y)
using namespace std;
const int N=;
int sum[N],f[N],g[N],q[N];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    rep(i,n)
    {
        scanf("%d",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-];
    }
    int ifront=,itail=;
    q[]=n+;
    for(int i=n;i;--i)
    {
        while(ifront<itail&&sum[q[ifront+]-]-sum[i-]>=f[q[ifront+]])
        ++ifront;
        f[i]=sum[q[ifront]-]-sum[i-];
        g[i]=g[q[ifront]]+;
        while(ifront<=itail&&sum[q[itail]-]-f[q[itail]]<=sum[i-]-f[i])--itail;
        q[++itail]=i;
    }
    printf("%d",g[]);
    return ;
}