计算几何-凸包算法 Python实现与Matlab动画演示

凸包算法是计算几何中的最经典问题之一了。给定一个点集，计算其凸包。凸包是什么就不罗嗦了

本文给出了《计算几何——算法与应用》中一书所列凸包算法的Python实现和Matlab实现，并给出了一个Matlab动画演示程序。

啊，实现谁都会实现啦╮(╯▽╰)╭，但是演示就不一定那么好做了。

算法CONVEXHULL(P) 
输入：平面点集P 
输出：由CH(P)的所有顶点沿顺时针方向组成的一个列表
1.   根据x-坐标，对所有点进行排序，得到序列p1, …, pn
2.   在Lupper中加入p1和p2（p1在前）
3. for(i←3 ton) 
4.   do 在Lupper中加入pi
5.   while(Lupper中至少还有三个点，而且最末尾的三个点所构成的不是一个右拐) 
6.   do 将倒数第二个顶点从Lupper中删去
7.   在Llower 中加入pn和pn-1（pn在前）
8. for(i←n-2 downto1) 
9.   do 在Llower 中加入pi
10.    while(Llower 中至少还有三个点，而且最末尾的三个点所构成的不是一个右拐) 
11.    do 将倒数第二个顶点从Llower 中删去
12.  将第一个和最后一个点从Llower 中删去
（以免在上凸包与下凸包联接之后，出现重复顶点）
13.  将Llower 联接到Lupper后面（将由此得到的列表记为L）
14.  return(L) 

看看，不是很多的样子是吧。
这里面需要说明的地方只有一点，那就是方向的判定问题。

设有三个点P，Q，R，现需求R位于向量PQ的左侧还是右侧(或者R在PQ上)。

计算PR与PQ的叉积，也就是外积。

如果将向量PR以P为旋转中心旋转只向量PQ的方向走过一个正角(逆时针)，意味着R在PQ的右侧，此时外积为正。

另外需要注意的是，如果在凸包上有三点共线的情况，在本例中三点是均位于凸包边界点集中的。如果想避免这一点，可以通过微量抖动数据的方式解决。

废话不多说，Python实现如下：

 #!/usr/bin/env python
 # coding: gbk

 ########################################################################
 #Author: Feng Ruohang
 #Create: 2014/10/02 13:39
 #Digest: Computate the convex hull of a given point list
 ########################################################################

 direction = lambda m: (m[2][0] - m[0][0]) * (m[1][1] - m[0][1]) - (m[1][0] - m[0][0]) * (m[2][1] - m[0][1])
 '''
     A Quick Side_check version Using Lambda expression
     Input:  Given a list of three point : m should like [(p_x,p_y), (q_x,q_y), (r_x,r_y)]
     Output: Return a Number to indicate whether r on the right side of vector(PQ).
     Positive means r is on the right side of vector(PQ).
     This is negative of cross product of PQ and PR: Defined by:(Qx-Px)(Ry-Py)-(Rx-Px)(Qy-Py)
     Which 'negative' indicate PR is clockwise to PQ, equivalent to R is on the right side of PQ
 '''

 def convex_hull(point_list):
     '''
     Input:  Given a point List: A List of Truple (x,y)
     Output: Return a point list: A List of Truple (x,y) which is CONVEX HULL of input
     For the sake of effeciency, There is no error check mechanism here. Please catch outside
     '''
     n = len(point_list)  #Total Length
     point_list.sort()

     #Valid Check:
     if n < 3:
         return point_list

     #Building Upper Hull: Initialized with first two point
     upper_hull = point_list[0:1]
     for i in range(2, n):
         upper_hull.append(point_list[i])
         while len(upper_hull) >= 3 and not direction(upper_hull[-3:]):
             del upper_hull[-2]

     #Building Lower Hull: Initialized with last two point
     lower_hull = [point_list[-1], point_list[-2]]
     for i in range(n - 3, -1, -1):  #From the i-3th to the first point
         lower_hull.append(point_list[i])
         while len(lower_hull) >= 3 and not direction(lower_hull[-3:]):
             del lower_hull[-2]
     upper_hull.extend(lower_hull[1:-1])
     return upper_hull

 #========Unit Test:
 if __name__ == '__main__':
     test_data = [(i, i ** 2) for i in range(1, 100)]
     result = convex_hull(test_data)
     print result

 2015年1月23日

使用很简单，看DocString就行。

下面顺便给出了Matlab 的实现，以及可视化的算法演示：

效果就是个小动画，像这样吧。

Matlab的凸包算法有三个文件：

side_check2：检查三个点构成的弯折的方向

Convex_hull: 凸包算法Matlab实现

Convex_hull_demo：凸包算法的演示。

拷在一个目录里

运行convex_hull_demo( randn(200,2)*100); 就可以看到可视化演示了

这个是辅助函数

%filename: side_check2.m
%Input:     Matrix of three point: (2x3 or 3x2)
%           P(p_x,p_y),Q(q_x,q_y),R(r_x,r_y)
%Output:    如果P Q R三点构成一个右拐，返回True
%           右拐意味着点R在PQ向量的右侧.此时

function result = side_check2(D)
if all(size(D) ~= [3,2])
    if all(size(D)==[2,3])
        D = D';
    else
        error('error dimension')
    end
end
result = (det([[1;1;1], D]) < 0 );

这个是纯算法实现。

%filename:     convex_hull.m
%CONVEX_HULL
%INPUT:     Point Set:(n x 2)
%OUPUT:     HULL Point List: (x x 2)
function L=t(P)
[num,dimension] = size(P);
if dimension ~= 2
    error('dimension error')
end

P = sortrows(P,[1,2]);
%if there is only one or two point remain,return it
if num < 3
     L = P;
     return
end

%STEP ONE: Upper Hull:
L_upper = P([1,2],:); %Take first two points
for i = 3:num
    L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list
    while size(L_upper,1) >= 3
        l_size = size(L_upper,1);
        if det([ones(3,1),L_upper(l_size-2:l_size,:)])= 3
        l_size = size(L_lower,1);
       if det([ones(3,1),L_lower(l_size-2:l_size,:)])

这个是演示：

%CONVEX_HULL
%INPUT:     Point Set:(n x 2)
%OUPUT:     HULL Point List: (x x 2)
%Samples:   convex_hull_demo( randn(200,2)*100)

function L=convex_hull_demo(P)

%Test Data
%data_size = data_size
%P = randi([-50,50],[data_size,2]);
[num,dimension] = size(P);
if dimension ~= 2
    error('dimension error')
end

P = sortrows(P,[1,2]);

%====Visual Lization
board_left = min(P(:,1));
board_right = max(P(:,1));
board_bottom = min(P(:,2));
board_up = max(P(:,2));
x_padding = (board_right- board_left)*0.1;
y_padding = (board_up- board_bottom)*0.1;
plot_range= [board_left - x_padding,board_right + x_padding,board_bottom-y_padding,board_up+y_padding];

clf;
scatter(P(:,1),P(:,2),'b.');
axis(plot_range);
hold on
%====VisualLization

%if there is only one or two point remain,return it
if num < 3
     L = P;
end

%STEP ONE: Upper Hull:
L_upper = P([1,2],:); %Take first two points
hull_handle = plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'ob-');
for i = 3:num
    L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list

    while size(L_upper,1) >= 3
        l_size = size(L_upper,1);
        if side_check2(L_upper(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid
            break;  %Quit if Valid
        else
            L_upper(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not
        end
        set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow;

    end
    set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow;
end

 %Visualization
 plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'bo-');
 %Visualization

%STEP Two: Build the lower hull
L_lower = [P([num,num-1],:)]; % Add P(n) and P(n-1)
set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;

for i = num-2:-1:1
    L_lower = [L_lower;P(i,:)];
    while size(L_lower,1) >= 3
        l_size = size(L_lower,1);
       if side_check2(L_lower(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid
            break;  %Quit if Valid
        else
            L_lower(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not
       end
       set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;
    end
    set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;
end

L_lower([1,size(L_lower,1)],:) = [];
if isempty(L_lower)
    L = L_upper;
else
    L = [L_upper;L_lower(2:size(L_lower,1)-1,:)];
end
hold off;
return